2020届高三理科数学一轮复习讲义全册打包下载

???3???3

所以A∩B={x|1<x<3}∩?x?x>2?=?x?2<x<3?.故选D.

??????

6.(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)·(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( C )

A.{1} C.{0,1,2,3} A∪B={0,1,2,3}.故选C.

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

B.{1,2} D.{-1,0,1,2,3}

解析:由(x+1)(x-2)<0?-1<x<2,又x∈Z,∴B={0,1},∴

考点一 四种命题及其相互关系

(1)(2019·青岛调研)下列命题:

①“若a2<b2,则a<b”的否命题; ②“全等三角形的面积相等”的逆命题;

③“若a>1,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题; ④“若3x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是( A ) A.③④ C.①②

B.①③ D.②④

解析:对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,为假命题;对

于③,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确,故选A.

(2)给出以下五个命题:

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题;

③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数;

⑤若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减. 其中为真命题的是①③ .(写出所有真命题的序号)

解析:①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②否命题为“不全等三角形的面积不相等”,但不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题为真,所以它的逆否命题也为真,故③为真命题;④若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题;⑤构造函数f(x)=x,g(x)=-x,则f(x)-g(x)=2x,显然f(x)-g(x)单调递增,故⑤为假命题.

1.判断命题真假的2种方法

(1)直接判断:判断一个命题是真命题,需经过严格的推理证明;而要说明它是假命题,只需举一反例即可.

(2)间接判断(等价转化):由于原命题与其逆否命题为等价命题,如果原命题的真假不易直接判断,那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假.

2.谨防3类失误

(1)如果原命题是“若p,则q”,则否命题是“若綈p,则綈q”,而命题的否定是“若p,则綈q”,即否命题是对原命题的条件和结论

同时否定,命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变).

(2)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写. (3)当命题有大前提时,写其他三种命题时需保留大前提.

??????1k

(1)已知集合P=?x?x=k+2,k∈Z?,Q=?x?x=2,k∈Z?,记

??????

原命题:“x∈P,则x∈Q”,那么,在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( C )

A.0 B.1 C.2 D.4

???1

解析:因为P=?x?x=k+2,k∈Z?=

??????2k+1

?x?x=,k∈Z2???

?????k

?,Q=?x?x=,k∈Z?,

2?????

所以PQ,

所以原命题“x∈P,则x∈Q”为真命题, 则原命题的逆否命题为真命题.

原命题的逆命题“x∈Q,则x∈P”为假命题, 则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2.

(2)以下关于命题的说法正确的有②④ (填写所有正确命题的序号).

①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;

②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”; ③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;

④命题“若a∈M,则b?M”与命题“若b∈M,则a?M”等价. 解析:①不正确.由log2a>0,得a>1, ∴f(x)=logax在其定义域内是增函数.

②正确.由命题的否命题定义知,该说法正确.

③不正确.原命题的逆命题为:“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4为偶数,但1和3均为奇数.

④正确.两者互为逆否命题,因此两命题等价.

考点二 充分必要条件的判定

角度1 用定义法判断充分、必要条件

π

若p:φ=2+kπ,k∈Z,q:f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)

是偶函数,则p是q的( A )

A.充要条件 C.必要不充分条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

π??π

??=cos(ωx+kπ)ωx++kπ解析:若φ=2+kπ,k∈Z,则f(x)=sin2??

??cosωx,k为偶数,

=? ??-cosωx,k为奇数,

所以函数f(x)是偶函数;

若f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数, π

则φ=2+kπ,k∈Z.

角度2 用集合法判断充分、必要条件

“x<0”是“ln(x+1)<0”的( B )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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