分式的概念和性质（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
A叫做分式.其中AB叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，
分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以
分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个
常数，不是字母，如
a是整式而不能当作分式. ? （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
x2y不能先化简，如是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，
x不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式
中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：
AA?MAA?M?，?（其中M是不等于零的整式）. BB?MBB?M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着
的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式
中字母的取值范围有可能发生变化.例如：字母x的取值范围变大了.
，在变形后，
1
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有
?bb?bb.根据有理数除法的符号法则有?，??aaa?a?bbbaa???.分式与?互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着a?aabb重要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式
是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 【典型例题】 类型一、分式的概念
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
2xm?15a222，，，3?x，，，?．
ama3?3【答案与解析】
x252m?1a22解：整式：，?，，3?x，分式：，，．
am33?a【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不
含有字母则不是分式．，
x3525，?虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中?3?的分母中?表示一个常数，因此这三个式子都不是分式．
类型二、分式有意义，分式值为0
2、下列各式中，m取何值时，分式有意义？ （1）
1m3m；（2）；（3）．
|m|?2m?2?m2?9【答案与解析】
解：（1）由m?2?0得m??2，
故当m??2时分式
m有意义． m?2 2
（2）由|m|?2?0得m??2，
故当m??2时分式
1有意义．
|m|?22（3）由?m?9??(m?9)?0，即无论m取何值时?m?9均不为零，故当m为任
22意实数时分式
3m都有意义．
?m2?9【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式
有意义．这是解答这类问题的通用方法．
举一反三：
【变式1】（2014秋?花垣县期末）当x 时，分式【答案】
解：当1﹣2x≠0，即x≠时，分式
有意义．故答案为x≠．
有意义．
【变式2】当x为何值时，下列各式的值为0．
x2?x2x?1x?2（1）；（2）2；（3）2．
x?13x?2x?4【答案】
解：（1）由2x?1?0得x??1， 211当x??时，3x?2?3?(?)?2?0，
2212x?1∴ 当x??时，分式的值为0．
23x?2（2）由x?x?0得x?0或x??1， 当x?0时，x?1?0?1?0， 当x??1时，x?1?(?1)?1?0，
2222x2?x∴ 当x?0时，分式2的值为0．
x?1（3）由x?2?0得x??2，
当x??2时，x?4?(?2)?4?0， ∴ 在分式有意义的前提下，分式类型三、分式的基本性质
22x?2的值永不为0． 2x?4 3