1.1.2余弦定理（二）
一、教学目标1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无
解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，
三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数
的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
二、教学重、难点
重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。四、教学设想
[复习引入] 余弦定理及基本作用
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边
a2?b2?c2?2bccosA b2?a2?c2?2accosB c2?a2?b2?2abcosC②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
b2?c2?a2a2?c2?b2b2?a2?c2 cosB? cosC?cosA?2bc2ac2ba练习]1。教材P8面第2题
2．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）
思考。解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求解的？求解三角形一定要知道一边
吗？
（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角； 例如 a?12,b?5,A?120?（先由正弦定理求B，由三角形内角和求C，再由正、余弦定理求C边）
（2）已知三角形的任意两角及其一边； 例如 A?70?,B?50?,a?10（先由三角形内角和求角C，正弦定理求a、b）
（3）已知三角形的任意两边及它们的夹角； 例如 a?12,b?13,C?50?
（先由余弦定理求C边，再由正、余弦定理求角A、B）
（4）已知三角形的三条边。 例如 a?10,b?12,c?9（先由余弦定理求最大边所对的角）
[探索研究]
例1．在?ABC中，已知下列条件解三角形
（1）A?30，a?10，b?20（一解） （2）A?30，a?10，b?6（一解） （3）A?30，a?10，b?15（二解） （4）A?120，a?10，b?5（一解）
????
（5）A?120，a?10，b?15（无解） 分析：先由sinB??bsinAasinC可进一步求出B；则C?1800?(A?B) 从而c? aA归纳：（1）如果已知的A是直角或钝角，a＞b，只有一解；
（2）如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b，只有一解； （3）如果已知的A是锐角，a＜b，
1、a?bsinA，有二解； 2、a?bsinA，只有一解； 3、a?bsinA，无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
bsinA?a?b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC中，若a?1，c?1，?C?400，则符合题意的b的值有_____个。 2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x的取值范围。
（ 答案：（1）有两解；（2）0；（3）2?x?22）
例2．在?ABC中，已知a?7，b?5，c?3，判断?ABC的类型。
a2?b2?c2?A是直角??ABC是直角三角形分析：由余弦定理可知 a2?b2?c2?A是钝角??ABC是钝角三角形
a2?b2?c2?A是锐角??ABC是锐角三角形解：72?52?32，即a2?b2?c2， ∴?ABC是钝角三角形。
[随堂练习2]
（1）在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，判断?ABC的类型。 （2）已知?ABC满足条件acosA?bcosB，判断?ABC的类型。 （答案：（1）?ABC是钝角三角形；（2）?ABC是等腰或直角三角形） 例3．在?ABC中，A?600，b?1，面积为3a?b?c，求的值 2sinA?sinB?sinC111分析：可利用三角形面积定理S?absinC?acsinB?bcsinA以及正弦定理
222asinA?bsinB?csinC?a?b?c
sinA?sinB?sinC13解：由S?bcsinA?得c?2， 则a2?b2?c2?2bccosA=3，即a?3，
22从而
a?b?ca??2
sinA?sinB?sinCsinA[随堂练习3]
（1）在?ABC中，若a?55，b?16，且此三角形的面积S?2203，求角C
（2）在?ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?（答案：（1）600或1200；（2）450）
a2?b2?c24，求角C
[课堂小结]
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 五、作业（课时作业）
（1）在?ABC中，已知b?4，c?10，B?300，试判断此三角形的解的情况。 （2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。 （3）在?ABC中，A?600，a?1，b?c?2，判断?ABC的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2?7x?6?0的根，
求这个三角形的面积。