面积的存在性问题解题策略
专题攻略
面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：
第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．
例题解析
例? 如图1-1，矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线y＝x－6x＋10滑动，在滑动过程中CD//x轴，CD＝1，AB在CD的下方．当点D在y轴上时，AB落在x轴上．当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标．
2
图1-1
【解析】先求出CB＝5，再进行两次转化，然后解方程．
把上下两部分的面积比为1∶4转化为S上∶S全＝1∶5或S上∶S全＝4∶5． 把面积比转化为点C的纵坐标为1或4．
如图1-2，C (3, 1)．如图1-3，C(3?3, 4)或(3－3错误！未找到引用源。, 4)．
图1-2 图1-3
例? 如图2-1，二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1,－4)，AM与y轴相交于点C，在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BCM，如存在，求出点P的坐标．
图2-1
【解析】△BCM是确定的，△PBM与三角形BCM有公共边BM，根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点C画BM的平行线与抛物线的交点就是点P．一目了然，点P有2个．
由y＝(x－1)2－4＝(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)，B(3,0)．由A、M，得C(0,－2)．
如图2-2，设P(x, x2－2x－3)，由PC//BM，得∠CPE＝∠BMF．所以CE?BF．
PEMF(x?1)2?4?24解方程?，得x?2?5．所以P(2?5,2?25)或(2?5,2?25)．
x2
图2-2
例? 如图3-1，直线y＝x＋1与抛物线y＝－x2＋2x＋3交于A、B两点，点P是直线AB上方抛物线上的一点，四边形PAQB是平行四边形，当四边形PAQB的面积最大时，求点P的坐标．
图3-1
【解析】△PAB的面积最大时，平行四边形PAQB的面积也最大．
我们介绍三种割补的方法求△PAB的面积：如图3-2，把△PAB分割为两个共底PE的三角形，高的和等于A、B两点间的水平距离；如图3-3，用四边形PACB的面积减去△ABC的面积；如图3-4，用直角梯形ABNM的面积减去两个直角三角形的面积．
我们借用图3-2介绍一个典型结论．已知A(－1,0)、B(2, 3)，设P(x,－x2＋2x＋3)． 11S△PAB＝S△PAE＋S△PBE＝PE(AF?BD)＝(yP?yE)(xB?xA)
2213127＝(?x2?x?2)?3＝?(x?)2?． 2228当x?11时，△PAB的面积最大．x?的几何意义是点E为AB的中点，这是一个典型22结论．同时我们可以看到，由于xB－xA是定值，因此当PE最大时，△PAB的面积最大．
图3-2 图3-3 图3-4
例? 如图4-1，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，AC⊥AB，△ACD沿AC方
向匀速平移得到△PNM，速度为每秒1个单位长度；同时点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为每秒1个单位长度；当△PNM停止运动时，点Q也停止运动，如图4-2，设移动时间为t秒（0＜t＜4）．是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
图4-1 图4-2
【解析】两步转化，问题就解决了．△QMC与△QPC是同底等高的三角形，△QPC是△ABC的一部分．
因此S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4就转化为S△QPC∶S△ABC＝1∶5，更进一步转化为S△QPC＝
6136．如图4-3，解方程?(4?t)?t?，得t＝2． 5255
图4-3
例? 如图5-1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 1)，直线y＝2x－4与抛物线
y?12x相交于点B，与y轴交于点D．将△ABD沿直线BD折叠后，点A落在点C处（如4图5-2），问在抛物线上是否存在点P，使得S△PCD＝3S△PAB？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1 图2
【解析】由A(0, 1)，B(4, 4)，D(0,－4)，可得AB＝AD＝5，这里隐含了四边形ADCB是菱形．因此△PCD与△PAB是等底三角形，而且两底CD//AB．
如果S△PCD＝3S△PAB，那么点P到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍． 如果过点P与CD平行的直线与y轴交于点Q，那么点Q到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍．
所以QD＝3QA．点Q的位置有两个，在DA的延长线上或AD上． 如图5-3，过点Q(0，)画CD的平行线，得P(723?6537?365，)，或28