中考数学压轴题解题策略(6)-面积的存在性问题解题策略

面积的存在性问题解题策略

专题攻略

面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:

第一类,先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根. 第二类,先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证假设是否正确.

例题解析

例? 如图1-1,矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物线y=x-6x+10滑动,在滑动过程中CD//x轴,CD=1,AB在CD的下方.当点D在y轴上时,AB落在x轴上.当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时,求点C的坐标.

2

图1-1

【解析】先求出CB=5,再进行两次转化,然后解方程.

把上下两部分的面积比为1∶4转化为S上∶S全=1∶5或S上∶S全=4∶5. 把面积比转化为点C的纵坐标为1或4.

如图1-2,C (3, 1).如图1-3,C(3?3, 4)或(3-3错误!未找到引用源。, 4).

图1-2 图1-3

例? 如图2-1,二次函数y=(x+m)2+k的图象与x轴交于A、B两点,顶点M的坐标为(1,-4),AM与y轴相交于点C,在抛物线上是否还存在点P,使得S△PMB=S△BCM,如存在,求出点P的坐标.

图2-1

【解析】△BCM是确定的,△PBM与三角形BCM有公共边BM,根据“同底等高的三角形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”,过点C画BM的平行线与抛物线的交点就是点P.一目了然,点P有2个.

由y=(x-1)2-4=(x+1)(x-3),得A(-1,0),B(3,0).由A、M,得C(0,-2).

如图2-2,设P(x, x2-2x-3),由PC//BM,得∠CPE=∠BMF.所以CE?BF.

PEMF(x?1)2?4?24解方程?,得x?2?5.所以P(2?5,2?25)或(2?5,2?25).

x2

图2-2

例? 如图3-1,直线y=x+1与抛物线y=-x2+2x+3交于A、B两点,点P是直线AB上方抛物线上的一点,四边形PAQB是平行四边形,当四边形PAQB的面积最大时,求点P的坐标.

图3-1

【解析】△PAB的面积最大时,平行四边形PAQB的面积也最大.

我们介绍三种割补的方法求△PAB的面积:如图3-2,把△PAB分割为两个共底PE的三角形,高的和等于A、B两点间的水平距离;如图3-3,用四边形PACB的面积减去△ABC的面积;如图3-4,用直角梯形ABNM的面积减去两个直角三角形的面积.

我们借用图3-2介绍一个典型结论.已知A(-1,0)、B(2, 3),设P(x,-x2+2x+3). 11S△PAB=S△PAE+S△PBE=PE(AF?BD)=(yP?yE)(xB?xA)

2213127=(?x2?x?2)?3=?(x?)2?. 2228当x?11时,△PAB的面积最大.x?的几何意义是点E为AB的中点,这是一个典型22结论.同时我们可以看到,由于xB-xA是定值,因此当PE最大时,△PAB的面积最大.

图3-2 图3-3 图3-4

例? 如图4-1,在平行四边形ABCD中,AB=3,BC=5,AC⊥AB,△ACD沿AC方

向匀速平移得到△PNM,速度为每秒1个单位长度;同时点Q从点C出发,沿CB方向匀速移动,速度为每秒1个单位长度;当△PNM停止运动时,点Q也停止运动,如图4-2,设移动时间为t秒(0<t<4).是否存在某一时刻t,使S△QMC∶S四边形ABQP=1∶4?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

图4-1 图4-2

【解析】两步转化,问题就解决了.△QMC与△QPC是同底等高的三角形,△QPC是△ABC的一部分.

因此S△QMC∶S四边形ABQP=1∶4就转化为S△QPC∶S△ABC=1∶5,更进一步转化为S△QPC=

6136.如图4-3,解方程?(4?t)?t?,得t=2. 5255

图4-3

例? 如图5-1,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0, 1),直线y=2x-4与抛物线

y?12x相交于点B,与y轴交于点D.将△ABD沿直线BD折叠后,点A落在点C处(如4图5-2),问在抛物线上是否存在点P,使得S△PCD=3S△PAB?如果存在,请求出所有满足条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

图1 图2

【解析】由A(0, 1),B(4, 4),D(0,-4),可得AB=AD=5,这里隐含了四边形ADCB是菱形.因此△PCD与△PAB是等底三角形,而且两底CD//AB.

如果S△PCD=3S△PAB,那么点P到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍. 如果过点P与CD平行的直线与y轴交于点Q,那么点Q到直线CD的距离等于它到直线AB距离的3倍.

所以QD=3QA.点Q的位置有两个,在DA的延长线上或AD上. 如图5-3,过点Q(0,)画CD的平行线,得P(723?6537?365,),或28

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