重庆科技学院概率统计复习题(理工)

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5.甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品,每个厂的产量分别占总产量的40%,35%,

25%,这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04,0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取一件,求恰好取到次品的概率是多少?

全概率公式

解:设A表示取出的产品是次品,B1,B2,B3分别表示所取的产品是由第一、二、三家工厂生产. 由全概率公式,得所求概率为:

P(A)?P?B|?A?B??PP 3AB?|A1?B+?P?2B?P1?P23?B|?=40%?002.+35%?004.?25%?005.??

?ke?5x6.设连续型随机变量X的密度为f(x)???0x?0x?0

(1)确定常数k; (2)求P{X>0.3} (3)求分布函数F(x).(4)求E(X) 解:(1)由???f(x)dx??0???????1?ke?5xdx?k??e?5x??1 得k?5

?5?0?5x??(2)P{X>0.3}=?5e03.dx????e?5x?15.??e ?03.??(3)分布函数F(x)=?x??xf(t)dt,

x?(??,??)

当x?0时,F(x)=???0dt=0,

当x?0时,F(x)=?0dt+?5e??00x?5tdt=???e?5t?5x??1?e, ?0x?1?e?5x,x?0所以,F(x)=?.

x?0?0,(4)E(X)=?????xf(x)dx????0x?5edx????5x??0xde?5x

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????xe?5x??0??0e?????5x1?1?dx?0???e?5x??

5?5?0??

7.设连续型随机变量X的密度函数为f?x????Asinx0?x?? 其它?0求:(1)系数A的值 (2)X的分布函数 (3)P{0?X?}。 解:(1)由???f(x)dx?A?0sinxdx?A??cosx?0(2)分布函数F(x)=?????41?2A?1 得A?

2?0x??f(t)dt,

xx?(??,??)

当x?0时,F(x)=???0dt=0,

当0?x??时,F(x)=???0dt+?0sintdt=??cost?0??1?cosx?, 当x??时,F(x)=???0dt+?0sintdt+??0dt=??cost?0?1,

?0x1212x1212x12?x?0?0,?1?F(x)=??1?cosx?,0?x??所以,. ?2x????1,(3)P{0

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8.若随机变量X的分布函数为:F(x)?A?Barctanx (-??x???)

求:(1)系数A,B;(2)X落在区间(-1,1)内的概率;(3)X的密度函数。

解:(1)由

?F(+?)=1??F(??)=01???A=A+B=1????22得? 解得? ?A-?B=0?B=1???2??1P{-1

2(3)密度函数

1f(x)=F?(x)=,x?(??,??)记求导微积分

2?(1?x)

x?1?8ex?09.设连续型随机变量X的密度为f(x)??8??0其它?,

(1)求Y?4X?1的密度; (2)求Z?X2?3的期望

解:设Y=4X-1和X的分布函数分别为G(y)和F(x),Y的概率密度为g(y).

12y?1?y?1?G(y)=P{4X-1?y}=P{X?}=F??

4?4?y?1??y?1??????y?1y?1g(y)=G(y)=F??????????f????? 所以44?????4??4?

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y?1??1?1?e84,??8?0,?y?1??y?1132?0?e,y??1=?84

?其他?0,其他(2) 设Z和X的分布函数分别为H(z)和F(x),Z的概率密度为h(z).

12(3,+?)(0,+?),所以Z=X+3?因为X?确定范围

2H(z)=P{Z?z}, z?(??,??)

当z?3时,H(z)=P{?}=0,则h(z)=0;

12H(z)=P{X?3?z}=P?2?z?3??X?2?z?3?当z?3时,2?? =F

?2?z?3??F?2?z?3? ?????????? ?f?2?z?3????2?z?3???f??2?z?3?????2?z?3??

? ?f?2?z?3????2?z?3???0

则h(z)=H?(z)?F??2?z?3??????2?z?3??F??2?z?3???2?z?3?

1??e82?z?3?8?222?z?3?2?z?3?8?182?z?3?e?2?z?3?8

??1?e所以h(z)=?82?z?3??0,?,z?3其他

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10.设某种电子元件的寿命X服从指数分布,其概率密度函数为

x?1???ef(x,y)????0?x?0x?0,

其中??0,求随机变量X的数学期望和方差。

?kx(1?x)0?x?111.设连续型随机变量X的概率密度为: f(x)??

0其它?1)求常数k;2)设Y?X2,求Y的概率密度fY(y);3)求D(X)

解:(1)由

?????2f(x)dx??kx(1?x)dx?1 得k?6

01(2)设Y=X和X的分布函数分别为FY(y)和F(x)

(0,1)(0,1)因为X?,所以Y=X?

2FY(y)=P{Y?y}, y?(??,??)

当y?0时,FY(y)=P{?}=0,则fY(y)=0; 当0?y?1时,FY(y)=P{X?y}=P?y?X? 则fY(y)=FY?(y)?F?2?y=F??y??F??y?

?y???y???F???y????y??

1 ?f????1?y??f?y?????? 2y2y???? ?6y1?y??21y?0?31?y

??当y?1时,FY(y)=P{S}=1,则fY(y)=0

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