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5．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％，
25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取一件，求恰好取到次品的概率是多少？
全概率公式
解：设A表示取出的产品是次品，B1,B2，B3分别表示所取的产品是由第一、二、三家工厂生产. 由全概率公式，得所求概率为：
P(A)?P?B|?A?B??PP 3AB?|A1?B+?P?2B?P1?P23?B|?=40%?002.+35%?004.?25%?005.??
?ke?5x6．设连续型随机变量X的密度为f(x)???0x?0x?0
(1)确定常数k； (2)求P{X>0.3} (3)求分布函数F(x).（4）求E(X) 解：（1）由???f(x)dx??0???????1?ke?5xdx?k??e?5x??1 得k?5
?5?0?5x??（2）P{X>0.3}=?5e03.dx????e?5x?15.??e ?03.??（3）分布函数F(x)=?x??xf(t)dt,
x?(??,??)
当x?0时，F(x)=???0dt=0,
当x?0时，F(x)=?0dt+?5e??00x?5tdt=???e?5t?5x??1?e, ?0x?1?e?5x，x?0所以，F(x)=?.
x?0?0,（4）E(X)=?????xf(x)dx????0x?5edx????5x??0xde?5x
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????xe?5x??0??0e?????5x1?1?dx?0???e?5x??
5?5?0??
7．设连续型随机变量X的密度函数为f?x????Asinx0?x?? 其它?0求:（1）系数A的值 （2）X的分布函数 （3）P{0?X?}。 解：（1）由???f(x)dx?A?0sinxdx?A??cosx?0（2）分布函数F(x)=?????41?2A?1 得A?
2?0x??f(t)dt,
xx?(??,??)
当x?0时，F(x)=???0dt=0,
当0?x??时，F(x)=???0dt+?0sintdt=??cost?0??1?cosx?, 当x??时，F(x)=???0dt+?0sintdt+??0dt=??cost?0?1,
?0x1212x1212x12?x?0?0，?1?F(x)=??1?cosx?,0?x??所以，. ?2x????1,（3）P{0 第 8 页 8．若随机变量X的分布函数为：F(x)?A?Barctanx (-??x???) 求：（1）系数A,B；（2）X落在区间（-1，1）内的概率；（3）X的密度函数。 解：（1）由 ?F(+?)=1??F(??)=01???A=A+B=1????22得? 解得? ?A-?B=0?B=1???2??1P{-1 2（3）密度函数 1f(x)=F?(x)=,x?(??,??)记求导微积分 2?(1?x) x?1?8ex?09．设连续型随机变量X的密度为f(x)??8??0其它?， （1）求Y?4X?1的密度； （2）求Z?X2?3的期望 解：设Y=4X-1和X的分布函数分别为G(y)和F(x)，Y的概率密度为g(y). 12y?1?y?1?G(y)=P{4X-1?y}=P{X?}=F?? 4?4?y?1??y?1??????y?1y?1g(y)=G(y)=F??????????f????? 所以44?????4??4? 第 9 页 y?1??1?1?e84,??8?0,?y?1??y?1132?0?e,y??1=?84 ?其他?0,其他(2) 设Z和X的分布函数分别为H(z)和F(x),Z的概率密度为h(z). 12（3，+?）（0,+?)，所以Z=X+3?因为X?确定范围 2H(z)=P{Z?z}, z?(??,??) 当z?3时，H(z)=P{?}=0，则h(z)=0； 12H(z)=P{X?3?z}=P?2?z?3??X?2?z?3?当z?3时，2?? =F ?2?z?3??F?2?z?3? ?????????? ?f?2?z?3????2?z?3???f??2?z?3?????2?z?3?? ? ?f?2?z?3????2?z?3???0 则h(z)=H?(z)?F??2?z?3??????2?z?3??F??2?z?3???2?z?3? 1??e82?z?3?8?222?z?3?2?z?3?8?182?z?3?e?2?z?3?8 ??1?e所以h(z)=?82?z?3??0，?，z?3其他 第 10 页 10．设某种电子元件的寿命X服从指数分布，其概率密度函数为 x?1???ef(x,y)????0?x?0x?0， 其中??0，求随机变量X的数学期望和方差。 ?kx(1?x)0?x?111．设连续型随机变量X的概率密度为： f(x)?? 0其它?1）求常数k；2）设Y?X2，求Y的概率密度fY(y)；3）求D(X) 解：（1）由 ?????2f(x)dx??kx(1?x)dx?1 得k?6 01（2）设Y=X和X的分布函数分别为FY(y)和F(x) （0,1）（0，1）因为X?，所以Y=X? 2FY(y)=P{Y?y}, y?(??,??) 当y?0时，FY(y)=P{?}=0，则fY(y)=0； 当0?y?1时，FY(y)=P{X?y}=P?y?X? 则fY(y)=FY?(y)?F?2?y=F??y??F??y? ?y???y???F???y????y?? 1 ?f????1?y??f?y?????? 2y2y???? ?6y1?y??21y?0?31?y ??当y?1时，FY(y)=P{S}=1，则fY(y)=0