第一章 集合
一、內容小结
1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入
了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。
2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定
理。
3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点
1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式
上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A却不一定成立。条件为A,B不交。
2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A去掉可数B后若还无限则C
必可数。
3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法
4. 肯定方面与否定方面。X?B,与X?B
5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其
中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。
6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯
坦定理）来进行相应的证明。
7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算
得到可数、第四节定理6.
8. 证明集合基数为C中常用到已知的基数为C的集合。R,E?
三、习题解答
1. 证明：A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
证明 设x?A?(B?C).若x?A,则x?A?B,得x?(A?B)?(A?C).
n设x?B?C,则同样有x?A?B且x?A?C，得
x?(A?B)?(A?C).因此
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
设x?(A?B)?(A?C).若x?A,则当然有x?(A?B)?(A?C)，若.x?A,由x?A?B且x?A?C，可知.若x?B且.x?c，所以x?B?C,同样有x?A?(B?C).因此(A?B)?(A?C)?A?(B?C)，
所以A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
若
2. 证明
⑴A?B?A?(A?B)?(A?B)?B ⑵A?(B?C)?(A?B)?(A?C) ⑶(A?B)?C?A?(B?C)
⑷A?(B?C)?(A?B)?(A?C) ⑸(A?B)?(C?D)?(A?C)?(B?D) ⑹A?(A?B)?A?B. 证明 ⑴
A?(A?B)?A?Cs(A?B)?A?(CsA?CsB)?(A?CsA)??A?CsB??A?B.
(A?B)?B?(A?B)?CsB
=(A?CsB)?(B?CsB)?A?B ⑵
(A?B)?(A?C)?(A?B)?Cs(A?C)?(A?B)?(CsA?CsC)?(A?B?(CsA)?(A?B?(CsC)?A?(B?(CsC)?A?(B?C).
⑶
(A?B)?C?(A?CsB)?CsC?A?Cs(B?C)?A?(B?C)
⑷
A?(B?C)?A?(B?CsC)?A?Cs(B?CsC)?A?(CsB?C)?(A?CsB)?(A?C)?(A?B)?(A?C).
⑸
(A?B)?(C?D)?(A?CsB)?(C?CsD)?(A?C)?Cs(B?D)?(A?C)?(B?D).
⑹
A?(A?B)?A?Cs(A?CsB)?A?(CsA?B)?A?B.
3. 证明：(A?B)?C?(A?C)?(B?C)；A?(B?C)?(A?B)?(A?C). 证明：
(A?B)?C?(A?B)?CsC
?(A?CsC)?(B?CsC) ?(A?C)?(B?C).(A?B)?(A?C)?(A?CsB)?(A?CsC)
?A?CsB?CsC?A?Cs(B?C)?A?(B?C).
4.证明：Cs(?Ai?1?i)??CsAi.
i?1??证明 设x?Cs(??Ai?1i)，则x?S，但x??Ai，因此对任意i，x?Ai，所以
i?1?x?CsAi，因而x??CsAi.
i?1 设x??Ci?1?sAi.则任意i， x?CsAi，即x?S，x?Ai，因此则x?S，但x??Ai，
i?1i?得x?Cs(
5.证明：
?Ai?1?)，所以Cs(?Ai)??CsAi.
i?1i?1???A?)?B??(A??B); ??⑵(?A?)?B??(A??B).
??证明 ⑴ (?A?)?B?(?A?)?CB??(A??CB)??(A??B)
⑴(????????ss???????????? ⑵ (
????A?)?B?(?A?)?CB??(A??CB)??(A??B).
ss?????????6.设?An?是一列集合，作B1?A1,Bn?An?(集，而且
??1?A?),n?1。证明?B?是一列互不相交的
nn?1??1?A???B?,1?n??.
??1nn 证明 若i?j，不妨设i?j，显然Bi?Ai(1?i?n).
nBi?Bj?Ai?(Aj??An)n?1j?1?Ai?Aj?CsA1?CsA2???CsAi???CsAj?1??.设x??Ai?1nni，若x?A1，则x?B1?in?1?Bi?1i，若x?A1，令in是最小的自然
in?1数使x?Ain，即x??A而x?Aii?1in，这样x?Ain??Ai?1i?Bin??Bi,所以
i?1n?A??Bii?1i?1ni证毕。
7.设A2n?1?(0,),A2n?(0,n),n?1,2,?，求出集列?An?的上限集和下限集。 解
1nlimAn??n?(0,?)；
设x?(0,?)，则存在N，使x?N时，因此n?N时，0?x?n，即x?A2n，所以x属于下标比N 大的一切偶数指标集，从而x属于无限多An，得
x?limAn，又显然limAn?(0,?)，所以limAn?(0,?)。
n??n??n??若有x?limAn??n，则存在N，使对任意n?N，有x?An，因此若2n?1?N时，
x?A2n?1， 即0?x?1，令n??，得0?x?0，此不可能，所以nlimAn??n??。
?? 8. 证明
limA???Ann??n?1m?nm
证明 设x?limAn??n则存在N，使对任意n?N，有x?An，所以
??x?m?n?1?A?m???Am，所以limAn???Am；设x???Am，则有n，使
n?1m?nn??n?1m?n????n?1m?n即对任意m?n，有x?An，所以x?limAn，因此limAn???Am。 x??Am，
m?nn??n??n?1m?n???
9. 作出一个（-1，1）和(??,??)的1—1对应，并写出这一一对应的解析表达式 解 ?:(?1,1)?(??,?)，对任意x?(?1,1)，?(x)?tan?2x
10. 证明：将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对
等的. 证明 只要证明球面S：x?y?(z?)?()去掉(0,0,1)点后与xoy平面M对等即可.
此可由球极投影来做到；对任意(x,y,z)?S\\(0,0,1)， ?(x,y,z)?(22122122 易验证?是1—1的，映上的，因此S与M是对等的，证毕。
11. 证明：由直线上某些互不相交的开区间所谓集A的元素，则A至多为可数集.
xy,)?M， 1?z1?z开区间，在每一?z中任取一点有理 证明 设G??z?z是直线上的互不相交的数rz使?z与rz对应.因为?z是互不相交的，因此这个对应是1—1的，而G与
有理数的子集对等，因此G至多可数。
12. 证明：所有系数为有理数的多项式组成一可数集. 证明 An：n次有理系数多项式全体所成的集合 A????An?0?n：所有系数为有理数的多项式全体所成的集合
An由n+1个独立记号所决定，（系数），每个记号（首位不取0）可独立跑遍全
体有理数（可数个）
因此由§4定理6，An?a，又由§4定理6，A?a.
13. 设A是平面上以有理点（即坐标都是有理数）为中心，有理数为半径的圆的全体，则
A是可数集.
证明 任意A中的圆，由三个独立记号所决定；(x,y,r)，其中(x,y)是圆心的坐标，
r是圆半径，x,y各自跑遍有理数，r跑遍大于0的有理数，因而都是可数集.