＋ ×（
＝ (1?
1
1
2
＝ 由
n
) 2n ?1
。
1
2
1 ? ） 2n ?1 2n ?1
1
，解得 n ＝17.
2n ?1 35
经检验 n ＝17 使原等式成立，所以 n ＝17.
变式 1：小王利用计算机设计了计算程序，输入和输出的数据如下：
n
2n ?1
17
＝
那么，当输入数据为 8 时，输出的数据是（ A. ）
D.
8 61
B. 8
63
C.
8 8 67
）
65
变式 2： 根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（
A. 100，011
B. 011，100 C. 011，101 D. 101，110
第二节
整式
2
典例 1 先化简， 再求值 ：（ a ? b ） 2 ＋ （ a ? b ） ? （ 2 a ? b ） － 3 a ， 其中
a ? ?2 ??3,b ??3 ? 2. 。
点拨： 先运用乘法公式及多项式乘法化简，再代入计算。
解：原式? a? 2ab ? b? 2a? ab ? b? 3a
2
2
2
2
2
? ab 。
当 a ? ?2 ??3,b ??3 ? 2. 时，原式? (?2 ??3)( 3 ? 2)
? ?( 3 ? 2)( 3 ? 2)
＝－（3－4）
＝1。
变式 1：已知 x? 4 ? 0, 求代数式 x(x ?1)? x(x? x) ? x ? 7 的值。
2
2
2
典例 2 图（1）是一个边长为(m ? n) 的正方形，小颖将图（1）中的阴影部分拼成图（2）
的形状，由图（1）和图（2）能验证的式子是（
）
图（1）
A. (m ? n)? (m ? n)? 4mn
2
2
2
2
图（2）
B. (m ? n)? (m? n) ? 2mn D. (m ? n)(m ? n) ? m ? n
2
2
2
C. (m ? n)? 2mn ? m? n
2 2 2
点拨： 根据两个图形中阴影部分的面积相同，得出两种计算面积的代数式的值相等，来验证公式。
解：由题意得两图中阴影部分的面积相等，图（1）中，由勾股定理得空白部分正方
形 的 边 长 为
m2 ? n2 ， 图 （ 1 ） 中 阴 影 部 分 面 积 为
(m ? n)2 ? ( m2 ? n2 )2 ? (m ? n)2 ? (m2 ? n2 ), 图 （ 2 ） 阴 影 部 分 面 积 为
1 4 ??? 2mn ，所以(m ? n)2 ? (m2 ? n2 ) ? 2mn ，故选 B。 2mn
变式 1： 从边长为 a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形（如图 1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图 2），上述操作所能验证的等式是（ ） A． a? b? (a ? b)(a ? b)
2
2
B. (a ? b)? a? 2ab ? bD． a? ab ? a(a ? b)
2
2 2 2
C. (a ? b)? a? 2ab ? b
2 2 2
典例 3 有一列单项式： ?x, 2x, ?3x, 4x, …, ?19x, 20x.
2 3 4 19 20
(1)你能说出它们的规律是什么吗？ (2)
写出第 2008 个单项式，
(3)写出第 n 个以及第（ n +1）个单项式。
点拨： 代数式的规律探究题，需要经过观察、分析、类比、归纳等过程，进而由特殊到一
般发现其规律。
解：(1)每个单项式的系数的绝对值与该单项式中 x 的指数相等，奇数项系数为负，
偶数项系数为正。
(2)2008 x
2008
.
n
n?1
(3)当 n 为奇数时，第 n 个单项式为?nx，第(n ?1) 个单项式为(n ?1)x当n 为偶数时，第 n 个单项式为 nx，第(n ?1) 个单项式为?(n ?1)x
n
n?1
，
。
变式 1： 用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第 n 个图案中正方形的个数是 。
变式 2：将连续的自然数 1 至 36 按右图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意
圈出其中的 9 个数，设圈出的 9 个数的中心的数为 a，用含有 a 的代数式表示这 9 个数的和为 ．
2
2
典例 4：代数式3x? 4x ? 6 的值为 9，则 x? x ? 6 的值为（
4
） D． 9
3
3
A． 7 B．18
点拨： 体现的思想方法是整体代入法。
3
C．12
变式 1：当 x ? 1 时，代数式 px? qx ? 1 的值为 2005，则当 x ? ?1 时，代数式 px? qx ? 1
的值为（ A.－2004
）
B.－2005
C.2005 D.2004
a2 ? b2
变式 2：设 a ? b ? ?2 ，求 ? ab 的值。
2
典例 5：把代数式 ax? 4ax ? 4a 分解因式，下列结果中正确的是（
2
）
A． a(x ? 2)
2
B． a(x ? 2)
2
C． a(x ? 4)
2
D． a(x ? 2)(x ? 2)
点拨：分解因式常用的方法是：“先提再套”，还应从多项式的角度考虑，直到各因式都不能继续
分解为止。 变式 1：分解因式： 2x?18 ? 2 2
）
2
变式 2 ：把代数式 xy? 9x 分解因式，结果正确的是（
A. x( y? 9) C. x( y ? 3)( y ? 3)
典例 6：下列运算结果正确的是（
）
2
B. x( y ? 3)
D. x( y ? 9)( y ? 9)
① 2x? x? x
?2
?1
3 2
② x? (x)? x
3 5 2
13
③ (?x)? (?x)? x
6 3 3
④ (0.1)?10? 10
A．①② B. ②④
变式 1：下列计算中错误的是（ ）
A. (?ab)? (?ab)? ?ab
3
2
2 3
98
2
3 3
C. ②③ D. ②③④
B. (?ab)? (?ab)? ab
2 3 33
C. (?a)? (?b)? ab
3 2
2 3
66
?D. ?(?a)? (?b)?? ? ?ab第三节 分式
3 2
2 3 3
1818
典例 1 （1）当 x 为何值时，分式 x2 ? 4 x2 ? x ? 2 x ?1
无意义？
（2）当 x 的何值时，分式 x2 ? 2x ? 3
的值为零？
A B
中，若 B ? 0 ，则分式无意
点拨： 判断分式有无意义，必须对原分式进行讨论，在分式
义，若 B ? 0 ，则分式缺一不可。
A B
有意义，分式 的值为零的条件是 A ? 0 且 B ? 0 ，两者
A
B
x2 ? 4 2
解：（1）要使分式 2 无意义，则需 x ? x ? 2 ? 0 。
x? x ? 2
x2 ? 4
即当 x ? 2 或 x ? ?1 时，分式 2 无意义。
x? x ? 2
x ?1
的值为零，则需 x ?1 ? 0 ，且 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ，解得 x ? ?1 （2）要使分式 2
x? 2x ? 3
变式 1：已知分式 x ? 5
2
, 当 x≠
x? 4x ? 5
时，分式有意义；当 x= 时，分式的值为 0．
变式 2：若将分式 a ? b ab
( a, b 均为正数）中的字母 a, b 的值分别扩大为原来的 2 倍，则分
式的值为（ ）
1 2
C. 不变 D．缩小为原来的
A. 扩大为原来的 2 倍 B. 缩小为原来的 1
4
典例 2 先化简，再求值： (1??1 2
) ??a? a ，其中 a ? 。 a ?1 a ?1 2
1
点拨： 在分式的混合运算中，除法运算要先变为乘法运算，分子，分母能分解因式的可先
分解因式再约分。
解：原式＝ (1? 1 ) ??a ?1
a ??1 a 2 ? a
a
? ??a ?1 a ?1 a(a ?1)
? 1
1
。
a ?1
2
a ?1 ) ? a ? 4 ,其中 a 满足 a2 ? 2a ?1 ? 0 变式 1：求值： ( a ? 2 ??
a2 ? 2a a2 ? 4a ? 4 a ? 2
1 b a 1 ? 1 变式 2：若 。 ? ，则 ? ＝ a b b a a ? b
2x ? y
典例 3 已知 x ? 3y ? 0 ，求 2 ? (x ? y) 的值.
x? 2xy ? y2
当 a ? 时，原式＝－2.
点拨： 根据分式乘除的运算法则，先将分式化简，再将 x ? 3y ? 0 转化为 x ? 3y 代入求值。
解：原式?
2x ? y
2
(x ? y)
? (x ? y)
?
2x ? y
。x ? y
6 y ? y
3y ? y
当 x ? 3y 时，原式?
?
7 y 2 y 7 2
。
＝ 变式 1： 若 x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? 0 ，则 x ? 2 y =
2x ? y 变式 2：若 ? ? 3, 则分式 x y 1 1
2x ? 3xy ? 2 y
=
x ? 2xy ? y
典例4 A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去边长为1 米的正方形蓄水池后余下的部分；
B 玉米试验田是边长为（ a ?1）米的正方形，两块试验田都收获了 500 千克玉米。 （1） 哪个玉米试验田的单位面积产量高？
（2） 高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
点拨：要解决第（1）小问，可先利用正方形的面积公式分别求出其面积，即可求出各自的 单位面积产量，进而利用作差法比较它们的大小，对于第（2）小问，可以利用作商 的办法来解决。
2 ，单位面积产量是 解：（1）A 玉米试验田的面积是(a?1) 米
2
500
千克∕米 2 ； 2
a?1