数学分析下册期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案

一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分) 1、已知u?lnx2?y2,则

?u?u? ,? ,?y?xdu? 。

2、设L:x2?y2?a2,则?xdy?ydx? 。

L?x=3cost,3、设L:(0?t?2?),则曲线积分?(x2+y2)ds= 。 ??y=3sint.Lfx,y)dx的次序为 。 4、改变累次积分?dy?(2y335、设D:x?y?1 ,则??(5?1)dxdy= 。

D得 分 阅卷人 二、判断题(正确的打“O”;错误的打“×”;每题3分,共15分)

px0,y0)px0,y0)1、若函数(在点(连续,则函数(点(必fx,y)fx,y) 存在一阶偏导数。

( )

px0,y0)px0,y0)2、若函数(在点( 可微,则函数(在点(连续。 fx,y)fx,y) ( )

px0,y0)3、若函数(在点(存在二阶偏导数fxy(x0,y0)和fyx(x0,y0),则 fx,y)?必有 fxy(x0,y0)fyx(0x,0y) 。

L(B,A)( ) ( )

4、

L(A,B)?f(x,y)dx??f(x,y)dx。

fx,y)fx,y)5、若函数(在有界闭区域D上连续,则函数( 在D上可积。( )

得 分 阅卷人 三、计算题 ( 每小题9分,共45分)

1、用格林公式计算曲线积分

I??(exsiny?3y)dx?(excosy?3)dy ,

AO其中AO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部分的路线。 2、计算三重积分

--线--------------------------------------

22(x?y)dxdydz, ???V其中 是由抛物面z?x2?y2与平面z?4围成的立体。 3、计算第一型曲面积分

_____________ --------------------------------------线--------------------------------------封--------------------------------------密-------------------------------------- I???dS ,

S其中S是球面x2?y2?z2?R2上被平面z?a(0?a?R)所截下的顶部(z?a)。

4、计算第二型曲面积分 I???y(x?z)dydz?x2dzdx?(y2?xz)dxdy,

S其中S是立方体V??0,b???0,b???0,b?的外表面。

5、设D??(x,y)x2?y2?R2?. 求以圆域D为底,以曲面z?e?(x2?y2)为顶的曲顶柱体

的体积。

得 分 阅卷人

四、证明题(每小题7分,共14分)

1、验证曲线积分

?(x2?2yz)d?x(2y?2x)z?dy2(?z2,x) ydzL与路线无关,并求被积表达式的一个原函数u(x,y,z)。 2、证明:若函数(fx,y)在有界闭区域D上连续,则存在(?,?)?D, 使得

??f(x,y)?d?f?(?,?)D S ,这里SD是区域D的面积。

D 参考答案

一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分) 1、

xyxx2?y2;x2?y2;

x2?y2dx?yx2?y2dy。 2、2?a2; 3、54? ; 4、?3dx?X22f(x,y)dy ;5、2(5?1)。 二、判断题(正确的打“O”;错误的打“×”;每题3分,共15分)

1、×; 2、○; 3、×; 4、× ; 5、○ . 三、计算题 ( 每小题9分,共45分)

1、解:补上线段OA:y?0,0?x?a 与弧AO:x2?y2?ax(y?0)构成封闭曲线,由格林公式,有

----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =

y?(ecosy?3)?a?dxdy?D:x2?y2????excosx?ax(y?0)?00dx-----------------------------8分

=3??dxdy?3?2D8a--------------------------------------------------------------------9分 班级____________________ 学号____________________ 姓名____________________ 2、解:作柱面坐标变换:x?rcos?,y?rsin?,z?z, 则J(r,?,z)?r 且

V?V?:r2?z?4,0?r?2,0???2?---------------------------------------------4分

3、解:S:Z?R2?x2?y2,(x,y)?D:x2+y2?R2?a2. ?I???dS???SDRR?x?y222dxdy--------------------------4分

作极坐标变换:x?rcos?,y=rsin? , 则 ( Jr,?)=r,且D:?D?:0?r?R2?a2,0???2?

2?R2?a2=

?d?0?0RR?r22rdr-----------------------------------7分

----------------------------------------------9分 ?2?R(R-a)4、解:用高斯公式,得

I????(y+0+x)dxdydzVbbb------------------------------------6分

=?dx?dy?(x+y)dz----------------------------------8分

000 =b4--------------------------------------------------9分 5、解:曲顶柱体的体积V???eD?(x2?y2)dxdy-----------------4分

作极坐标变换:x?rcos?,y?rsin?,则 ( Jr,?)=r, 且 D?D?:0?r?R,0???2? ,于是,有

2?R =

?r?d??erdr--------------------------------------8分 002(1-e-R)=?-----------------------------------------------9分

2四、证明题(每小题7分,共14分)

1、证明:P?x2?2yz,Q?y2?2xz,R?z2?2xy

?P?Q?R?Q?P?R(x,y,z)?R3. ???2z,??2x,???2y,

?y?x?y?z?z?x-----------------------------------4分 ?曲线积分与路线无关。取x0?y0?0,则

x2y2z =?xdx??ydy??(z2-2xz)dz-------------------7分

0001 =?(x3+y3+z3)-2xyz--------------------------9分

31、证明:由 最值定理,函数(在有界闭区域D上存在最大值M和最小值m,且fx,y)?(x,y)?D,有

m?(fx,y)?M, 上式各端在D上积分,得

mSD???(fx,y)d??MSD,

D 或 m?其中SD为D的面积。

fx,y)d???(DSD?M,

(?,?)?D,使得 根据介质性定理,存在

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