期末大作业题目
一、小行星的轨道问题
一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立了以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文观测单位。在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如下： x1 x2 x3 x4 x5 X坐标 5.764 6.286 6.759 7.168 7.408 y1 y2 y3 y4 y5 Y坐标 0.648 1.202 1.823 2.526 3.360 试根据以上数据解决下面的问题： （1） 建立小行星运行的轨道方程并画出其图形；
（2） 求出近日点和远日点及轨道的中心（是太阳吗？）； （3） 计算轨道的周长。
二、发电机使用计划
为了满足每日电力需求（单位：兆瓦），可以选用四种不同类型的发电机。每日电力需求如下所示：
表1 每日用电需求（兆瓦） 时段 需求 0点—6点 12000 6点—9点 32000 9点—12点 25000 12点—14点 36000 14点—18点 25000 18点—22点 30000 22点—24点 18000 每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率。所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个成本，即边际成本。这些数据均列于下表中。
表2 发电机数据 型号1 型号2 型号3 型号4 可用数量 10 4 8 3 最小输出功率 （兆瓦） 750 1000 1200 1800 最大输出功率 （兆瓦） 1750 1500 2000 3500 固定成本 （元/小时） 2250 1800 3750 4800 每兆瓦边际成本 （元/小时） 2.7 2.2 1.8 3.8 启动成本 （台/元） 5000 1600 2400 1200 只有在每个时段开始才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。我们的问题是：
（1）在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？ （2）如果增加表3中的关闭成本，那么在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？
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（3）如果增加表4中的关闭成本，那么在每个时段应分别使用哪些发电机才能够使每天的总成本最小？
表3 发电机数据 表4 发电机数据 型号1 型号2 型号3 型号4 启动成本 关闭成本 （台/元） （台/元） 5000 1600 2400 1200 5000 1600 2400 1200 型号1 型号2 型号3 型号4 启动成本 关闭成本 （台/元） （台/元） 5000 1600 2400 1200 3000 800 3000 2000
三、合理计税问题
税收作为国家经济杠杆之一，具有调节收入分配、促进资源配置、促进经济增长的作用。 纳税是国家财政收入的主要来源，按照国家的税收制度交纳个人所得税是我们每个公民应尽的职责。现行的个人所得税率如表1： 表1：个人所得税率表（工资、薪金所得适用） 级数 1 2 3 4 5 6 97 含税级距 不超过1500元的 超过1500元至4,500元的部分 超过4,500元至9,000元的部分 超过9,000元至35,000元的部分 超过35,000元至55,000元的部分 超过55,000元至80,000元的部分 超过80,000元的部分 税率(%) 3 10 20 25 30 35 45 速算扣除数 0 105 555 1005 2755 5505 13505 本表含税级距指以每月收入额减除费用3500元后的余额。即现行的个人所得税的起征点是3500元。 说明 现考虑某事业单位的个人所得税的计算问题。已知该单位职工的年收入是由每月的工资、每月的岗位津贴、年末一次性奖金三部分组成。根据国家政策，每月的工资和津贴之和按照上表的税率交税（交税算法如下面式子），而年末一次性奖金则单独计税，按照除以12再找表中税率最后减去速算扣除数的办法执行，比如某人的每月工资是2000元，每月岗位津贴5000元，年末1次性奖金是60000元，则一年中应缴纳的个人所得税累计为（因为60000/12≈5000，故一次性适用税率为20%）： 每月上税：第一种算法：1500×3%+2000×10%=245元 第二种算法：3500×10%-105=245元 年末一次上税为：60000×20%-555=11445元
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所以此人一年上税为： 245×12+11445=14385元
在实际的执行过程中，每月的岗位津贴和年末一次性奖金实际上是放在一起结算给个人的，而具体每月发放多少岗位津贴和年末一次性发放多少奖金可以由职工本人在年初根据自己的需要进行选择。显然，不同的选择发放方式所缴纳的税是不同的，这就产生一个合理计税的问题。假定该事业单位一年中的津贴与奖金之和的上限是160000元，试解决下面这个问题：
建立合理计税的数学模型，并为下列5名职工制定合理的发放方案。
职工编号 每月应税工资 1379 1450 1395 1878 2013 津贴与奖金总数 53490 65890 75800 113021 133333 每月岗位津贴发放数 年末一次性奖金 个人所得税 1 2 3 4 5
四、光伏电池的选购问题
早在1839年，法国科学家贝克雷尔（Becqurel）就发现，光照能使半导体材料的不同部位之间产生电位差。这种现象后来被称为“光生伏特效应”，简称“光伏效应”。1954年，美国科学家恰宾和皮尔松在美国贝尔实验室首次制成了实用的单晶硅太阳电池，诞生了将太阳光能转换为电能的实用光伏发电技术。据预测，太阳能光伏发电在未来会占据世界能源消费的重要席位，不但要替代部分常规能源，而且将成为世界能源供应的主体。
现有一家公司欲在面积为30平方米的一片向阳的屋顶安装光伏电池以解决部分电力紧张的问题。请你利用附件提供的数据通过建立数学模型解决下面三个问题：
（1）如果该公司准备投资6万5千元购买A或者B两种类型的光伏电池，请你为该公司确定购买方案使得发电总功率最大。
（2）如果购买的光伏电池的开路电压之间的差不能超过2V，请你为该公司重新确定购买方案。
（3）实际中还要考虑电池串并联后并网发电的要求，即如果要购买两种或者两种类型以上的电池时，不同型号的电池的购买数量应该相等。请你在满足（1）（2）的前提下为该公司重新确定购买方案。 附件：两种类型的光伏电池（A单晶硅、B多晶硅）组件设计参数和市场价格 PV电池类型 A单晶硅电池 产品型号 A1 组件功率 （w) 组件尺寸 开路电压 （mm×mm×mm） （Voc） 46.1 价格 （元/W） 14.9元/W 215 1580×808×40 3