第7课时 一元二次方程
一元二次方程的解
1.（2019·百色中考）已知x＝2是一元二次方程x－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为（ A ） A.2 B.0 C.0或2 D.0或－2
一元二次方程的应用
2.（2019·百色中考）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA，OB长度不限）中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m.
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（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块.若只
选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？ 解：（1）设这地面矩形的长是x m，依题意，得 x（20－x）＝96，
解得x1＝12，x2＝8（舍去）. 答：这地面矩形的长是12 m；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55＝8 250（元）. 规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80＝7 680（元）. 因为8 250>7 680，
所以采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少.
核心考点解读
一元二次方程的概念
1.只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程，叫做一元二次方程，其一般形式（标准形式）是 ax＋bx＋c＝0（a≠0） .
【温馨提示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数.
一元二次方程的解法 直接开 平方法 配方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方2程，即形如（x±m）＝n（n≥0）的方程 配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的 完全平方 式，右边是一个非负常数 22
－b±b－4ac2求根公式为 x＝（b－4ac≥0） ，适用于所有的一元二次续表公式法 2a方程 因式分 因式分解法的步骤：（1）将方程右边化为 0 ；（2）将方程左边分解为一解法 次因式的乘积；（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解 2
【温馨提示】关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的解法： c2
（1）当b＝0，c≠0时，x＝－，考虑用直接开平方法求解；
a（2）当c＝0，b≠0时，考虑用因式分解法求解； （3）当a＝1，b为偶数时，用配方法求解更简便.
一元二次方程根的判别式
2.根的判别式：一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可由 b－4ac 来判定，我们将 b－4ac 称为根的判别式，通常用“Δ”表示.
3.判别式与根的关系
（1）b－4ac>0?方程有 两个不相等 的实数根； （2）b－4ac<0?方程没有实数根；
（3）b－4ac＝0?方程有 两个相等 的实数根；
【温馨提示】（1）一元二次方程有实数根的前提是 Δ＝b－4ac≥0；（2）当a，c异号时，必有Δ>0.
一元二次方程的应用
4.列一元二次方程解应用题的步骤
（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）作答. 5.一元二次方程应用问题常见的等量关系
（1）增长率中的等量关系：增长率＝增量÷原有量.
（2）利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间.
利润（3）利润中的等量关系：毛利润＝售价－进价，纯利润＝售价－进价－其他费用，利润率＝
进价×100%.
（4）面积类：一类是求小路宽度和围矩形两类面积应用题，是常考题，另一类边框类应用题. （5）传染病类应用题：有两种类型，一种是传染类，另一种是细胞分裂类；两种类型应用题列方程是不同的，分裂类分裂后原细胞不存在.
【温馨提示】在一元二次方程应用题中值的取舍要结合实际情况取值，否则会多值或少值.
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1.（2019·上海中考）下列对一元二次方程x＋x－3＝0根的情况的判断，正确的是（ A ） A.有两个不相等实数根 B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根
2.（2019·桂林中考）若关于x的一元二次方程（k－1）x＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ B ）
A.k＜5 B.k＜5，且k≠1 C.k≤5，且k≠1 D.k＞5
3.（2019·安徽中考）若关于x的一元二次方程x（x＋1）＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ A ）
A.－1 B.1
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C.－2或2 D.－3或1
4.（2019·湘西中考）若关于x的一元二次方程x－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为（ C ）
A.1 B.－3 C.3 D.4
5.（2019·北部湾中考）某种植基地2019年蔬菜产量为80 t，预计2019年蔬菜产量达到100 t，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ A ）
A.80（1＋x）＝100 B.100（1－x）＝80 C.80（1＋2x）＝100 D.80（1＋x）＝100
6.（2019·贵港中考）已知α，β是一元二次方程x＋x－2＝0的两个实数根，则α＋β－αβ的值是（ B ）
A.3 B.1 C.－1 D.－3
7.（2019·来宾中考）已知x1，x2是方程2x＋5x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2的值是（ C ）
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A.－ B.1 C. D.9 44
8.（2019·柳州中考）一元二次方程x－9＝0的解是 x1＝3，x2＝－3 Ｗ.
9.（2019·苏州中考）若关于x的一元二次方程x＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝ －2 Ｗ. 10.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 50（1－x）＝32 Ｗ.
11.（2019·玉林中考）已知关于x的一元二次方程：x－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程.
解：（1）根据题意，得Δ＝（－2）－4（－k－2）＞0， 解得k＞－3；
（2）取k＝－2，则方程变形为x－2x＝0. 解得x1＝0，x2＝2.（注：k还可以取－1）
典题精讲精练
一元二次方程及其解法
例1 解方程：x－2x＝4.
【解析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后直接开平方即可求解.
【解答】解：配方，得x－2x＋1＝4＋1， ∴（x－1）＝5，∴x＝1±5， ∴x1＝1＋5，x2＝1－5.
【点评】在解一元二次方程时要注意选择适宜的解题方法.
一元二次方程根的判别式
例2 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ B ） A.x＋6x＋9＝0 B.x＝x C.x＋3＝2x D.（x－1）＋1＝0
【解析】根据一元二次方程根的判别式判断即可.
A.x＋6x＋9＝0，Δ＝6－4×9＝36－36＝0，方程有两个相等实数根；
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