课时作业52 椭圆
一、选择题
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，
2516|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( A )
A．4 C．2
1
解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，
2
∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.
2．(2019·开封模拟)曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k<9)的( D )
25925－k9－kA．长轴长相等 C．离心率相等
2
2
x2y2
B．3 D．5
x2y2x2y2
B．短轴长相等 D．焦距相等
解析：因为c1＝25－9＝16，c2＝(25－k)－(9－k)＝16，所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等．
x22
3．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y＝1的离心率为( C )
mA.C.
30 6
30
或7 6
2
B.7 5
D.或7 6
解析：由题意知m＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝6，
b＝1，c＝5，则e＝
30
；当m＝－6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝6，c6
＝7，则e＝7.故选C.
4．(2019·贵州六盘水模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若
43点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( A )
A．4 C．8
解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，
|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos60° ＝|F1F2|，得3|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.
22
2
x2y2
B．6 D．12
x2y2
5．焦点在x轴上的椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成
ab一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为( C )
3
1A. 41C. 2
1B. 32D. 3
12
b解析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得1bc1
×2c·b＝(2a＋2c)·，得a＝2c，即e＝＝，故选C.
23a2
x2y2
6．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内
ab部，则椭圆的离心率的取值范围是( B )
A.?C.?
?5－1?
，1?
?2??3－1?
，1?
?2?
B.?0，D.?0，?
???
5－1?
? 2?3－1?
? 2?
解析：设正方形的边长为2m，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m>c.又正方形ABCD的
x2y2m2m2c2c22e242
四个顶点都在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上，∴2＋2＝1>2＋2＝e＋2，整理得e－3e＋
ababab1－e3－5
1>0，e<＝
2
2
5－4
2
，∴0 5－1 .故选B. 2 2 2 2 2 二、填空题 7．(2019·河北保定一模)与圆C1：(x＋3)＋y＝1外切，且与圆C2：(x－3)＋y＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1. 2516 解析：设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|＝6，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1. 2516 x2y2 x2y2 x2y2 8．(2019·四川南充模拟)已知椭圆＋2＝1(0 4b的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是3. 解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所2b以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则＝3， 2 a所以b＝3，即b＝3. 9．(2019·云南昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m925 2 x2y2 取最大值时，点P的坐标是(－3,0)或(3,0)． 解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2， 有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 则m＝|PF1|·|PF2|≤? ?|PF1|＋|PF2|?2＝25， ?2?? 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.所以点P的坐标为(－3,0)或(3,0)． x2y2 10．(2019·南宁市摸底联考)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是xab－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是 3. 2 x2y2 解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆2＋2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为ABab的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝ y2－y1 ＝1.由x2－x1 ???xy??a＋b＝1， 2 22 222 x2y211 2＋2＝1，ab a2 两式相减得， x1＋x2x1－x2 ＋ y1＋y2 b2 y1－y2 ＝0， y1－y2b2x1＋x2b21所以＝－2·，所以2－＝， x1－x2ay1＋y2a4c于是椭圆的离心率e＝＝ a三、解答题 11．(2019·云南曲靖模拟)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，且椭圆C过点P?1，b231－2＝. a2 ? ?3??. 2? (1)求椭圆C的标准方程； (2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△ AOB的面积． a－b＝3，??xy解：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，由题意可得?13 ab2＋2＝1，??a4b2 2 2 2 解得 ??a＝4， ?2 ?b＝1.? 2 故椭圆C的方程为＋y＝1. 4 x2 2