2.1 平面向量的实际背景及基本概念
【基础练习】
1．下列说法正确的是( ) A．长度相等的向量叫作相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度等于0
→→→→
D.AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 【答案】C
【解析】对于A，向量包括长度和方向，长度相等的向量不一定是相等向量，∴A错误；对于B，方向相同或相反的向量叫共线向量，不一定在一条直线上，∴B错误；对于C，根据→→
零向量的定义知C正确；对于D，AB∥CD时，这两向量可能共线，它们所在的直线可能平行或重合，∴D错误．故选C.
2．(2017年湖北枣阳月考)下列命题正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a∥b 【答案】C
【解析】对于A，|a|＝|b|，则a＝±b，∴A错误；对于B，向量a与b不能比较大小，∴B错误；对于C，a＝b，则a∥b，∴C正确；对于D，|a|＝0，则a＝0，∴D错误．故选C.
3．若四边形ABCD是矩形，则下列命题中不正确的是( ) →→
A．AB与CD共线 →→
C．AD与CB共线 【答案】B
→→
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD且AB＝CD，AD∥CB，∴AB与CD共线且模相等，→→→→
AD与CB共线．∵AC与BD相交，∴AC与BD不共线．故选B.
4．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( ) →→
A．AB与AC共线 →→
C．AD与AE相等 【答案】B
【解析】如图所示，D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC，
→→
B．DE与CB共线 →→
D．AD与BD相等 →→
B．AC与BD共线 →→
D．AB与CD模相等 B．若|a|＞|b|，则a＞b D．若|a|＝0，则a＝0
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→→
∴DE与CB共线．故选B.
5．(2018年黑龙江大庆一中期末)下列命题正确的是( ) A．单位向量都相等
B．模为0的向量与任意向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】B
【解析】在A中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A错误；在B中，零向量与任意向量共线，故B正确；在C中，平行向量一定是共线向量，故C错误；在D中，零向量与它的相反向量相等，故D错误．故选B.
→→→→→→
6．如图ABCD是菱形，则在向量AB，BC，CD，DA，DC和AD中，相等的有________对．
【答案】2
→→→→
【解析】AB＝DC，BC＝AD，其余不等． 7．下列命题中，真命题的序号是________． →→
①向量AB的长度与BA的长度相等； ②若a＝b，b＝c，则a与c共线；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
→→
④向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上． 【答案】①②
→→
【解析】对于①，向量AB的长度与BA的长度相等， ∴①正确；
对于②，若a＝b，b＝c，则a＝c，a与c共线，∴②正确； 对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，∴③错误；
→→
对于④，向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D不一定在同一直线上，如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．
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综上，真命题是①②.
8．如图，以1×2方格纸中的格点(A，B，C，D，E，F)为起点和终点的向量中．
→→
(1)写出与AF，AE相等的向量； →
(2)写出与AD模相等的向量．
→→→→→
【解析】(1)与AF相等的向量为BE，CD，与AE相等的向量为BD. →→→→(2)与AD模相等的向量为DA，CF，FC.
【能力提升】
→→→
9．设O为△ABC外接圆的圆心，则AO，BO，CO是( ) A．相等向量 C．模相等的向量 【答案】C
→→→
【解析】|AO|，|BO|，|CO|都等于△ABC外接圆的半径．故选C.
10．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( )
A．CA C．CB 【答案】B
【解析】因为A∩B中还含有与a方向相同的向量，所以B错．
11．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于________．
【答案】3π
【解析】这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·2－π·1＝3π. 12．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
2
2
B．平行向量 D．起点相同的向量
B．A∩B＝C D．A∩BC
→
(1)与AB相等的向量共有几个？
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