远辉教育
远辉教育奥数班第十一讲
——数字综合题选讲
主讲人：杨老师 学生：四年级 电话：62379828
一、 学习要点：
数字指的是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个．数字问题不但有趣，而且还会使我们的思维活跃，思路开阔．
在解答数字问题时，主要用到下面一些知识：
①?? 偶数的性质：奇数±奇数=偶数 偶数±偶数=偶数 奇数±偶数=奇数 ②自然数被9、11整除的特征：
一个自然数若它的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个自然数必能被9整除．反之也成立． （更一般地，一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同．）
一个自然数若它的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除，那么这个自然数必能被11整除．反之也成立．
③自然数分类的思想：分类时注意不重不漏，即某个自然数必属于某一类而且只能属于一类．
此外，还要用到加、减法中数位上的进位、借位，乘法中积的奇偶性与各个乘数的奇偶性的关系，…等等一些知识．
二、 典例剖析：
例1 一个四位数，它的个位数字为2，如果将个位数字移作千位数字，原来的千位数字移作百位数字，原来的百位数字移作十位数字，原来的十位数字移作个位数字，那么所得的新数比原数少2889，原数是多少？
式为：
这时，此题转为一个数字迷的问题．突破口选在个位． 个位上：c+9=12，可得出c=3． 十位上：b+8+1=13，可得出b=4． 百位上：a+8+1=14．可得出a=5． 千位上：2+2+1=5．
因此，所求的四位数为5432．
例2 自然数列（A）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、…，把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，作成了新的数列（B）：1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、0、1、1、1、2、…． ①（A）数列中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第多少个数字？
②（B）中的第100个数字，是（A）中的第几个数的哪一位上的数字？它是什么？ ③到（B）的第100个数字为止，数字3共有多少个？ 解：①把（A）中的1～100这100个自然数进行分类： 一位数：1～9共9个数字．
两位数：10～99共20×90=180（个）数字． 三位数：100共3个数字．
因此，（A）中的100这个数，个位上的数字0在（B）中是第9+180+3=192（个）数字． ②（B）中的前100个数字，把所有一位数减去，还剩100-9=91（个）数字．
远辉教育
由于每一个两位数可以隔成两个数字，所以由91÷2=45……1可知，（B）中的第100个数字，是（A）中的第46个两位数的十位数字．
46+10-1=55，故（B）中的第100个数字为（A）中的55的十位数字，它是5． ③由于55的十位数字不是3，所以可考虑1～54这54个自然数． 个位为3的自然数有：3、13、23、33、43、53，个位上共有6个3． 十位为3的自然数有：30～39，十位上共有10个3．
因此，到（B）的第100个数字为止，数字3共出现了：6+10=16（个）．
例3 从1、5、9、13、…、993中，任意找出199个数，把它们乘起来，积的个位数字是什么？ 解：在1、5、9、…、993中，共有249个自然数．
由于奇数的个位数字只能为：1、3、5、7、9，因此把这些奇数分为两类： 一类是个位数字为5的：5、25、…、985共50个自然数． 另一类是个位数字不为5的：共有249-50=199（个）自然数． 任意取出的这199个自然数分成两种情况进行考虑：
①若这199个自然数中，含有个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位必为5． ②若这199个自然数中，不含个位数字为5的，则这199个数的乘积的个位数字为：
1×9×3×7的个位数字为9，则
综上所述，这199个数的乘积的个位数字为3或5．
说明：对于比较复杂的情况，经常用分类的想法进行考虑，从而得到问题的完整答案．对于此题，同学们不妨思考一下：若从中取出198或200个数，结论又是怎样？
例4 把1、2、3、4、5、6这六个数字分别填入右面的表格中，每格只填一个数字，使每一行右边的数字比左边的大，每一列下面的数字比上面的大，共有多少种不同的填法？
分析 为了叙述方便，我们先把这六个空格中所填的数字用字母a、b、c、d、e、f来表示．
因为在这六个数字中，1最小，6最大，所以先考虑1和6这两个数字．
1只能填在a处，因为1若填在其他五个格中，则从剩下的五个数字中找不出比1还小的数填在1的左边或上面．6只能填在f处（同理）．
现在考虑5.5只能填在c处或e处．因为5若放在b处或d处，则从剩下的2、3、4中找不出比5大的数填在e处．
①若c=5，则b、d、e三格只能填2、3和4这三个数字，因为e＞b，且e＞d，所以e=4，共有以下两种填法：
b=2，d=3，e=4和b=3，d=2，e=4．
②若e=5，则b、c、d三格只能填2、3和4，因为c＞b，所以c=3或4，共有以下三种填法： b=2，c=3，d=4；b=2，c=4，d=3 和b=3，c=4，d=2．
远辉教育
综上所述，共有5种不同的填法． 解：共有5种不同的填法，它们是：
说明：在考虑1和6以后，也可以接着考虑2，请同学们不妨试一试．
例5 任取一个四位数乘以9801，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C为多少？
解：任一个四位数乘以9801的积，必然小于98010000，数字和最大不超过97999999的数字和，即A≤9×7+7=70．
在小于70的两位数中，数字和最大的为69，6+9=15，因此B≤15．
在小于15的自然数中，数字和最大的为9，所以C≤9．因为9801能被9整除，所以四位数与9801的积也能被9整除，所以A、B、C均能被9整除，因此C=9．
例6 用1～9这九个数字组成一个没有重复数字的九位数，且能被11整除，问这个九位数最大是多少？ 解法1：先把由1～9这九个数字组成的没有重复数字的最大九位数排出来为：987654321． 因为（9+7+5+3+1）-（8+6+4+2）=5，所以 987654321不能被11整除．
适当调换偶数位与奇数位上的数字，使调换后奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数．因为在5个奇数，4个偶数之间进行加、减法运算（每个数只用一次）所得的结果必定为奇数，因此不能使奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差变为偶数，只能为奇数．因此，应使两者的差从5变为11．
11-5=6，6÷2=3，所以把1与4对换，得987651324能被11整除．
为使这个九位数为最大，再次进行调换，98765 1 3 2 4，即2与1对换，3与4对换．（这次调换只能是奇数位上的数字互换，偶数位上的数字互换，这样调换后的九位数仍能被11整除．） 因此，得所求的九位数为987652413．
设A=a1+a3+a5+a7+a9 B=a2+a4+a6+a8
k是0或自然数．
由于A+B=45，所以A、B必然为一个奇数一个偶数，于是A-B为奇数，故取k=1
a6+a8=17-（8+6）=3，
3只能等于1和2这两个自然数的和，所以合要求的九位数为987652413．