中学数学建模中的常见模型举例
1 引言
应该说，我们的中学数学教学是一种“目标教学”。一方面，我们一直想教给学生有用的数学，但学生高中毕业后如不攻读数学专业，就觉得数学除了高考拿分外别无它用；另一方面，我们的“类型+方法”的教学方式的确是提高了学生的应试“能力”，但是学生一旦碰到陌生的题型或者联系实际的问题却又不会用数学的方法去解决它。大部分同学学了十二年的数学，却没有起码的数学思维，更不用说用创造性的思维自己去发现问题，解决问题了。由此看来，中学数学教与学的矛盾显得特别尖锐。 加强中学数学建模教学正是在这种教学现状下提出来的。“无论从教育、科学的观点来看，还是从社会和文化的观点来看，这些方面（数学应用、模型和建模）都已被广泛地认为是决定性的、重要的”。我国普通高中新的数学教学大纲中也明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”，要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验，使问题得到解决”。这些要求不仅符合数学本身发展的需要，也是社会发展的需要。因为我们的数学教学不仅要使学生获得新的知识而且要提高学生的思维能力，要培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，
从而形成良好的思维品质，造就一代具有探索新知识、新方法的创造性思维能力的新人。 2 模型的含义
所谓数学模型，就是对现实原型为了某种目的而作的抽象、简化的数学结构，它是使用数学符号、数学式子及数量关系对原型作的一种简化而本质的刻画，比如方程、函数、不等式等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。其模型的构建过程包括：
(1) 分析问题，了解问题的实际背景知识，挖掘问题中的隐藏条件；
(2) 假设简化，根据问题的特征和目的，对问题进行简化，并用精确的数学语言来描述；
(3) 建立模型，在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构； (4) 求解并检验模型，对模型进行求解，并将模型结果与实际情形相比较，以此来验证模型的准确性；
（5）分析，在验证准确的基础上对计算的结果给出其实际含义，并进行解释。
具体地讲，数学模型方法的操作程序大致上为： 实际问题→分析抽象→建立模型→数学问题 ↑↓
检验 ← 实际解 ← 释译 ←数学解
3 常见模型的应用举例 3.1 代数模型
在解数学题的过程中，我们可以根据原题的题设条件，构造一个与之相似的问题来进行考察，这个新问题就称之为问题的模型，通过解决这个模型来解决原问题或发现解题方法。现将中学数学最常见的代数模型列举如下： 3.1.1 方程模型
如果问题含有较多的未知关系，我们可以从多方面思考问题，利用题设条件巧妙构建方程模型，可使问题获得简洁明了的解答。
例 某班举行趣味数学主题班会，辅导员小林首次发言，他说，到2000年我的出生年份的数字之和恰巧等于我到2000年的年龄。请问小林出生在哪一年？到2000年小林几岁？ 经过分析、比较，离开原有的思维轨道，从多方面思考问题，进行思维变通。根据题意，建立方程模型：
解：设小林出生年份为19xy，即出生年份的十位数字为x，个位数字为y。则可列出方程：2000-(1000+900+10x+y)=1+9+x+y 化简得：11x+2y=0。
如果按照常规思维，方程有无数组解，就无法确定具体的出生年份。这时，作如下思维变通，可得到解答：出生年份的十位数字、个位数字均为小于10的正整数，且x为偶数，取x=0,2,4,6,8代入即得解x=8y=1，故小林出生于1981年，到2000