随机前沿分析
（1）Schmidt, P., 1976, On the statistical estimation of parametric frontier production functions, Review of Economics and Statistics 58, 238-239.
在这篇文章之间有一些利用使用数学规划的方法来估计生产函数参考的，如min sigma (u_j)( u_j为生产函数与观察值之间的差距)和min sigma(u_j^2)。但是，这种做法有不足之处，如结果对outlier敏感，另外估计出的参数也无法得知其统计特性。
Schmidt在这篇文章中加入一个one-sided disturbance (epsilon_j <= 0)。在假设这个disturbance是服从指数分布时，min sigma (u_j)的规划结果可以被视为是参数的最大似然估计。如果假设disturbance是服从半正态，min sigma(u_j^2)得到的规划结果也可以被视为是MLE。
然而Aigner等人也指出这种视做实际意义不大。因为最大似然使用的条件不满足。特别地，产出值y的范围依赖于参数的确定。因此，通常的定理都无法用来确定参数和渐近分布。在这样的情况下，还是不清楚估计出来的生产函数的特性。
（MLE及其估计量的统计特性）
（2）Aigner, D.J., T. Amemiya and D.J. Poirier, 1976, On the estimation of production frontiers, International Economic Review 17, 377-396. 这篇文章有个非常重要的贡献：拟合函数的同时可以将感兴趣的对象以参数的形式引入进来。
（3）Formulation and estimation of stochastic frontier production function models, Aigner , C.A. K. Lovell, P. Schmidt. Journal of Econometrics, 6, (1977): 21-37.
这篇文章提出了包含两个部分的误差表示方式：epsilon_i= v_i + u_i (i=1,…,N)。其中v_i为建模系统误差；u_i是一个非正（或者非负看建模型的
方式）的随机变量建模生产的无效性。如果将v_i去掉，那么模型变成确定的前沿面。如果将u_i 去掉，则模型变成Zellner等人（1966）所建的随机前沿面模型。另外，v_i概括不受管理者控制的因素，而u_i表示可以受管理者控制的因素。
此时，效率需要表示成y_i/(f(xi;beta)+v_i)，而不是传统的y_i/(f(xi;beta))。因为效率的定义需要将管理者控制能力以外的影响消除，比如说天气的影响等。
在SFA使用中，首先需要了解合成误差epsilon_i的分布。如果合成误差被定义成一个正态变量加上一个半正态分布变量，即系统误差服从正态分布，无效部分服从半正态分布，其密度函数形式，均值和方差如下： (1) Density function: f(epsilon)=
2/sigma*f(epsilon/sigma)(1-F(epsilon*lambda*sigma^{-1})
where sigma^2=sigma_u^2+ sigma_v^2, lambda=sigma_u/sigma_v, and f(.) and F(.) are the standard normal density and distribution functions, respectively.
[注：求解两个变量的和的密度函数思路简单，但推导过程比较烦琐] (2) E(epsilon)=E(u)= - sqrt(2)/ sqrt(pi) * sigma_u (3) V(epsilon)=V(u)+V(v)=(pi-2)/pi*sigma_u^2+sigma_v^2 [注：半正态的均值易求，另E(u^2)=E(u)。所以V(u)=E(u^2)-E(u)^2=(pi-2)/pi*sigma_u^2] 关于lambda几点需要解释的地方：
（1） lambda 趋于0：即系统的误差占主导地位，则density function 趋于1/sigma*f(epsilon/sigma)，即N(0, sigma^2)；
（2） lambda 趋于无穷：即v的误差的影响占主导地位，则density function 趋于一个负半正态变量 f(epsilon)= sqrt(2)/(sqrt(pi)sigma_u) exp(-epsilon^2/2*sigma_u^2) (if epsilon <= 0); 0 otherwise. (to be continued)