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1、二次函数的定义
定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
练习：1、y=-x2，y=2x2-2/x，y=100-5 x2，y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个。
m2?m2.当m_______时,函数y=(m+1)χ - 2χ+1 是二次函数？ 2、二次函数的图像及性质
y y 0 x 0 x 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax +bx+c(a>0)
?b4ac?b2????2a,4a????直线x??b2ay=ax2+bx+c(a<0)
?b4ac?b2????2a,4a????直线x??b2a由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 . 在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .
当x??b4ac?b2时,y最小值为2a4a由a,b和c的符号确定 a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而 .
在对称轴的右侧, y随着x的增大而 .
当x??b4ac?b2时,y最大值为2a4a13例2：已知二次函数 y?x2?x?22
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
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3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.
3,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为_____________练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
例1已知二次函数y=ax +bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0
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(6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
练习
１、 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 则a、b、c的符号为（ ）
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 ２、 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 则a、b、c的符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0
3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 则a、b、c 、 △的符号为（ ）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
4.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。
5、抛物线的平移
左加右减，上加下减 练习
⑴ 次函数y=2x 的图象向 平移 个单位可得到y=2x -3的图象； 二次函数y=2x 的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3) 的图象。
⑵二次函数y=2x 的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)+2的图象。
引申：y=2(x+3) -4 y=2(x+1) +2 （3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.
?( x?)?y=x -5x+6
5212 y?(x?)?y=x
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6二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程根的情况与b2-4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
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