模块01 数字通信概论
1-1 已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为解：由题意知0出现的概率为 I(0)??log23?0.415bit 41,求出现0符号的信息量。 43，0符号出现携带的信息量为： 4
1-2 某4ASK系统的四个振幅值分别为0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。
1111（1） 振幅0,1,2,3出现的概率分别为,,,，求每个振幅的信息量和各
2488种振幅信息的平均信息量。
（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为2?s，求此系统的信息速率。 解：（1）每个振幅的信息量如下：
1I(0)??log2?1bit21I(1)??log2?2bit4
1I(2)??log2?3bit81I(3)??log2?3bit8 各种振幅的平均信息量为：
111111 H??log2?log2?log2?0.5?0.5?0.75?1.75bit/symbol
2244481?1.75?875kb/s （2）Rb?RB?H??62?10
1-3 某4PSK数字通信系统用正弦波的四个相位0，?2,?,3?2来传输信息，设这四个相位是相互独立的。
（1） 若每秒钟内0，?2,?,3?2出现的次数分别为500,125,125,250，求此
数字通信系统的码元速率和信息速率。
（2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250，求此数字通信系统的码
元速率和信息速率。
解：（1）RB?500?125?125?250?1000B
500500125125125125250250H??log?log2?log2?log210002100010001000100010001000100011111111131??log2?log2?log2?log2????1.75bit/symbol22888844242Rb?RB?H?1000?1.75?1.75kb/s
（2）
RB?250?4?1000B11H?4(?log2)?2bit/symbol
44Rb?RB?H?1000?2?2kb/s
1-4 某4PSK数字通信系统，码t元速率为1000B，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。 解：连续工作1小时后，系统的误码率为：
P?10e1000?36000?2.78?10?6
1-5 某系统经长期测定，它的误码率Pe?10?5，系统码元速率为1200B，问在多
少时间内可能收到360个错误码元。
解：t?36010?5?1200?3?104秒?8.3小时
模块02 信号
2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：
? （1）f(x)??1?2a,?a?x?a
??0,其他?2 （2）f(x)??1??2ae?xax?0
?0,其他解：（1）E(X)??axf(x)dx??ax1?a?a2adx?14a[x2]a?a?0
E(X)??a2a21?axf(x)dx???ax2adx?16a[x3]aa22?a?3 D(X)?E(X)?E(X)?a2 223
（2）
E(X)??????1?x2x2x2a?1?0xf(x)dx??0x2aedx??0?a1?a?14de??4[e]0?4E(X2)?????x2
12!a0x21?a2aeadx?2a?1!(2)3?8（根据积分公式：?x2ne?x2/a2dx??2n!n!(a2)2n?1） D(X)?E(X2)?E2(X)??a12?a?18?16?16
2-2 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为RX(?),RY(?),PX(?),PY(?),试求Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数和功率谱密度。
解：RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?RX(?)?RY(?)
1[PX(?)?PY(?)] PZ(?)?2?
2-3 设Z(t)?Xcos?Ct?Ycos?Ct是一随机过程，若X和Y彼此统计独立，且均值都为0，方差均为?2的高斯随机变量，试求： （1）Z(t)的均值和方差。
（2）Z(t)的一维概率密度函数。 （3）Z(t)的自相关函数。 解：（1）
E[Z(t)]?E[Xcos?ct?Ycos?ct]?E[X]cos?ct?E[Y]cos?ct?0222D[Z(t)]?D[Xcos?ct?Ycos?ct]?cos?ct[D[X]?D[Y]]?2cos?ct?（2）Z(t)为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下： f(z)?12?cos(?ct)??z24cos2(?ct)?2
e
（3）
R[Z(t1,t2)]?E[(Xcos?ct1?Ycos?ct1)(Xcos?ct2?Ycos?ct2)]??E[X2cos?ct1cos?ct2?2XYcos?ct1cos?ct2?Y2cos?ct1cos?ct2] ?2?2cos(?ct1)cos(?ct2)
2-4 当均值为0，双边功率谱密度为n02的白噪声通过如图所示的RC低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。
输入 R C 输出
解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
?j?t??ked,f?fHH(f)??
??0,其它处
所以有:
H(f)?k2,f?fH
2
输出信号的功率谱密度为:
PY(f)?H(f)PX(f)?k22n0,f?fH 2