模块05 模拟信号的数字化传输
5-1 一个信号s(t)?2cos400?t?6cos40?t，用fs?500Hz的抽样频率对它进行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz的理想低通滤波器，输出端会有哪些频率成分？
解：原始信号含有两个频率成分f1?20Hz,f2?200Hz，抽样信号的频谱是连续信号的周期延拓，周期为500Hz，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.
5-2 语音信号的带宽在300~3400Hz之间，假设采用fs?8000Hz对其抽样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB，试问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？
解：设最小需要L个量化电平，每个样值最少需要N比特，则有：
Sq?20lgLNq 即：30?20lgL
L?322N?L又由
L?32,N?5
5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数f(x)如下图所示。 （1）若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。 （2）若按4电平进行均匀量化，试计算信号与量化噪声功率比。
f(x) 1 -1 0 1 x
解：（1）按8电平进行均匀量化，量化间隔为??0.25，量化电平为
{-0.875，-0.625，-0.375，-0.125,0.125,0.375,0.625,0.875}。
（2）按4电平进行均匀量化，信号功率Sq、噪声功率Nq如下： Sq??xf(x)dx??x(x?1)dx??x2(1?x)dx??1?10120211?0.1667 6Nq???0.5?1(x?0.75)2(x?1)dx??10.50?0.5(x?0.25)2(x?1)dx?
?0.0026041?0.0078225?0.0078125?0.00260125?0.02084
Sq0.1667??8 Nq0.02084
5-4已知正弦波信号的最高频率fm?4kHz，试分别设计一个PCM系统，使系统的输出量化信噪比满足30dB的要求，求系统的信息速率。
解：由信号的最高频率fm?4kHz，根据抽样定义选取抽样频率为
0?0.5(x?0.25)2(1?x)dx??(x?0.75)2(1?x)dx fs?2.2fm?8.8kHz 设对抽样值最小采用L个量化值，有：
Sq ?20lgL?30dB,则L?32
Nq 每个量化值至少需要N个二进制码进行编码，则有：
2N?L,现在L?32，则N?5
这个PCM系统的信息速率为：
Rb?8800?5?log22?4.4Mb/s
5-5 已知语音信号的最高频率fm?3400Hz，若用PCM系统传输，要求量化信噪比为30dB，试求该PCM系统的带宽。 解：由量化信噪比有：
Sq ?20lgL?30
Nq最小量化级L?32
每个量化值需N位 二进制进行编码有：
2N?L,N?5系统带宽：B?N?fm?5?3400?17kHz
5-6 设有离散无记忆信源X为
?x??x1x2x3x4x5x6???P(x)?????0.30.20.20.10.10.1?? ????（1） 计算该信源的熵；
（2） 用霍夫曼编码方法对此信源进行编码； （3） 计算平均码长，并讨论霍夫曼编码的效率。 解：（1）
H(x)???p(xi)log2p(xi)??0.3log20.3?0.4log20.2?0.3log20.1?2.446
i?16（2）
x1码字：11 x4码字：010 x2码字：10 x5码字：001
x3码字：011 x6码字：000 （4） 平均码长为：
l?0.3?2?0.2?2?0.2?3?0.1?3?3?2.5
编码效率为： H(x)2.446 ?????97.84%
2.5l
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