实验２ 用三线摆测量刚体的转动惯量
转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本方法之一。
一. 实验目的
1. 学会正确测量长度、质量和时间。
2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。
二. 实验仪器
三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。
三. 实验原理
图3-2-1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处
‘
于悬挂状态，并可绕OO轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。
设下圆盘质量为 度为
m0，当它绕OO＇扭转的最大角位移为?o时，圆
盘的中心位置升高h，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有：
EP?m0gh （g为重力加速度）
?0，重力势能被全部转变为动能，有：
EK?12I0?02
当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速
I‘
式中0是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO轴的转动惯量。
如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得：
m0gh?12I0?02 （3-2-1）
设悬线长度为l，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度?0时，
从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C1，如图3-2-2所示，则：
图3-2-1三线摆实验装置示意图 (BC)2?(BC!)2h?BC?BC1?BC?BC12222
2(BC)?(AB)?(AC)???(R?r)∵
(BC1)2?(A1B)2?(A1C1)2??2?(R2?r2?2Rrcos?0)∴图3-2-2 三线摆原理图 2Rr(1?cos?0)2h??BC?BC1BC?BC1
在扭转角
4Rrsin2?0 ?0很小，摆长l很长时，sin2?0??02，而BC+BC1?2H，其中
22l?(R?r) H= （H为上下两盘之间的垂直距离）
Rr?02h?2H （3-2-2） 则
由于下盘的扭转角度位移与时间的关系是
?0很小（一般在5度以内）
，摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角
2?tT0
???0sin式中，?是圆盘在时间t时的角位移，相是零，则角速度为：
?0是角振幅，?0是振动周期，若认为振动初位
??d?2??02??costdtT0T0
13?0,?0,?0......2经过平衡位置时t=0 ,2的最大角速度为：
?0?将（3-2-2）、（3-2-3）式代入（3-2-1）式可得
2??0T0（3-2-3）
m0gRr2T024?H （3-2-4）
mTI实验时，测出0、R、r、H及0，由（3-2-4）式求出圆盘的转动惯量0。在下盘
上放上另一个质量为m，转动惯量为I（对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有
(m?m0)gRr2I?I0?T24?H （3-2-5）
从（3-2-5）减去（3-2-4）得到被测物体的转动惯量I为
gRr22I?[(m?m)T?mT]00024?H （3-2-6）
在理论上，对于质量为m，内、外直径分别为d、D的均匀圆环，通过其中心垂直轴
1dD1I?m[()2?()2]?m(d2?D2)m直径为D0的2228线的转动惯量为。而对于质量为0、
12I0?m0D08圆盘，相对于中心轴的转动惯量为。
I0?四. 实验内容
测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量
1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。
2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间
t0，重复
测量5次求平均值0，计算出下盘空载时的振动周期T0。
3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。
4. 测出圆环质量（m）、内外直径（d、D）及仪器有关参量（
tm0,R,r和H等）
。
因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3-2-3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/3。 I0的相对不确定度II公式，算出0的相对不确定度、绝对不确定度，并写出0的测量结5.将实验数据填入下表中。先由（3-2-4）式推出果。再由（3-2-6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。 五. 实验数据处理 1. 实验数据表格 下盘质量待 测 物 体 上 盘 m0? g， 圆环质量m? g 测 量 次 数 图3-2-3 下盘悬点示意图 3 4 5 待 测 量 半 径 R（m） 1 2 平均值 下 盘 有效半径（cm） R?L3 tT?00周 期/50 （S） 上、下盘 垂直距离H（cm） 内 径d（cm） 圆 环 外 径D（cm） 下盘加圆环 周 期T?t/50（S） 2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为：
2I??I?g?cmg?cm00下盘: ,
2I??IIg?cm000 ＝＝( ± ) 22g?cmg?cmI?I圆环: ＝ , ＝
2 I＝(I??I)＝ ± （g.Cm）
_______2___六.问题讨论
1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R0，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处?
2. 当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?