北京市海淀区2019届高三上学期期末考试数学(文科)试题(含答案)

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(理科) 2019.1

本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一

项.

x2y21.双曲线??1的左焦点坐标为

22A.(?2,0)

B.(?2,0)

C.(?1,0)

D. (?4,0)

2.已知向量a,b满足a=(2,0),b?(t,1), 且a?b?a,则a,b的夹角大小为 A.

? 6 B.

? 4 C.

? 3 D.

5?12

3.已知等差数列{an}满足a1=2,公差d?0,且a1,a2,a5成等比数列,则d= A. 0

2B.?21 2

C.?1

D.?2 24.直线y?kx+1被圆x?y?2截得的弦长为2,则k的值为 A.

? 6 B.

? 4 C.

? 3 D.

5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为

A.6

B.7 C.8

D.12

6.已知函数f(x)=lnx?a,则“a?0”是“函数f(x)在区间(1,??)上存在零点”的 xA充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7.已知函数f(x)?sinx?cosx,g(x)是f(x)的导函数,则下列结论中错误的是 A.函数f(x)的值域与g(x)的值域相同

B.若x0是函数f(x)的极值点,则x0是函数g(x)的零点 C.把函数f(x)的图像向右平移D.函数f(x)和g(x)在区间(??个单位,就可以得到函数g(x)的图像 2,)上都是增函数

??448.已知集合A?(s,t)1?s?50,1?t?50,s?N,t?N.若B?A,且对任意的(a,b)?B,

??(x,y)?B,均有(a?x)(b?y)?0,则集合B中元素个数的最大值为

A.25

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.

9.以抛物线y2?4x的焦点F为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 .

10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M值为15,n值为4 时,输出的S值为 .

B.49 C.75

D.99

11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 , .

?y?x,?12.设关于x,y的不等式组?x?4,表示的平面区域为Ω,若点A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)

?y?kx?2,?中有且仅有两个点在Ω内,则k的最大值为 .

13.在?ABC中,b?3a,且cos2A?cosB,则cosA? .

14.正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,动点M在线段CC1上,动点P在平面A1B1C1D1上,且AP?平面MBD1.

(Ⅰ)当点M与点C重合时,线段AP的长度为 ; (Ⅱ)线段AP长度的最小值为 .

三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)

已知函数f(x)?acos(?x)?cos2x

2(Ⅰ)比较f()和f()的大小;

???62(Ⅱ)求函数f(x)在区间[?,]的最小值.

2216.(本小题满分13分)

为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩,并规定X?85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:

(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率; (Ⅱ)从图中考核成绩满足X?[70,79]的学生中任取3人,设Y表示这3人重成绩满足X?85?10的人数,求Y的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据以往培训数据,规定当P(??X?85?1)?0.5时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学10生冰雪培训活动是否有效,并说明理由. 17.(本小题满分14分)

在四棱锥P?ABCD中,平面ABCD?平面PCD,底面ABCD为梯形,AB//CD,AD?PC

且AB?1,AD?DC?DP?2,?PDC?1200 (Ⅰ)求证:AD?平面PDC;

(Ⅱ)求二面角B-PD-C的余弦值;

(Ⅲ)若M是棱PA的中点,求证:对于棱BC上任意一点F,MF与PC都不平行.

18.(本小题满分14分)

x2 椭圆?y2?1的左焦点为F,过点M(?2,0)的直线l与椭圆交于不同两点A,B

2(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若点B关于x轴的对称点为B’,求AB'的取值范围. 19. (本小题满分14分)

a?x2已知函数f(x)?.

ex(Ⅰ)当a??1时,求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

2(Ⅱ)当a?0时,求证:f(x)??对任意x?(0,??)成立.

e20.(本小题满分13分)

设n 为不小于3的正整数,集合?n?(x1,x2,...xn)xi??0,1?,i?1,2,...,n,对于集合?n中的任意元素??(x1,x2,...,xn),??(y1,y2,...,yn)

记????(x1?y1?x1y1)?(x2?y2?x2y2)?...?(xn?yn?xnyn) (Ⅰ)当n?3时,若??(1,1,0),请写出满足????3的所有元素? (Ⅱ)设?,???n且???+????n,求???的最大值和最小值;

(Ⅲ)设S是?n的子集,且满足:对于S中的任意两个不同元素?,?,有????n?1成立,求集合S中元素个数的最大值.

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