2018年初中数学联赛试题
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
第一试(A)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
a21.设二次函数y?x?2ax?的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为
22等边三角形时，其边长为( ) A.6B.22C.23D.32
2.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BD于点E，AB=1，∠CAE=15°，则BE=( )
A.32B.C.2-1D.3-1 323.设p,q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为( ) A.1B.2C.3D.4
?1?a?4.若实数a,b满足a-b=2,
bA.46B.64C.82D.128
2?1?b??a2?4,则a5-b5=( )
5.对任意的整数x,y，定义x@y=x+y-xy，则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组(x,y,z)的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 6.设M?11111?????，则的整数部分是( ) 2018201920202050MA.60 B.61 C.62 D.63
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=48°，则∠B=_______.
2.若实数x,y满足x3?y3?115?x?y??，则x+y的最大值为_______. 423.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为_______.
a5?b5?c54.已知实数a,b,c满足a+b+c=0，a+b+c=1，则=_______.
abc2
2
2
第一试(B)
一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1.满足(x2+x-1)x+2的整数x的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知x1,x2,x3(x1＜x2＜x3)为关于x的方程x3-3x2+(a+2)x-a=0的三个实数根，则
22=( ) 4x1?x12?x2?x3A.5 B.6 C.7 D.8
3.已知点E，F分别在正方形ABCD的边CD，AD上，CD=4CE，∠EFB=∠FBC，则tan∠ABF＝( )
A.
1323 B. C. D. 25224.方程3?9?x?3x的实数根的个数为( ) A.0B.1C.2D.3
5.设a,b,c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a,b,c)的个数为( ) A.4B.5C.6D.7
6.已知实数a,b满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b=( ) A.2B.3C.4D.5
二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）
1.已知p,q,r为素数，且pqr整除pq+qr+rp-1，则p+q+r=_______.
2.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为_______.
3.已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6，BC=10，∠BAD=∠BCD，∠EDC=
∠ABD，则DE=_______.
4.已知二次函数y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50)的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m,n)的个数为_______.
第二试（A）
一、（本题满分20分）设a,b,c,d为四个不同的实数，若a,b为方程x2-10cx-11d=0的根，c,d为方程x2-10ax-b=0的根，求a+b+c+d的值.
二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=12，点C在OA上，AC=4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F. （1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF； （2）求CE+2DE的最小值.