专题04 基本不等式 高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)

高考数学二轮复习微专题(文理通用)

多题一解之基本不等式篇

【知识储备】

1、基本不等式:ab≤a+b

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(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0。 (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时等号成立。

a+b

(3)其中叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数。

2: 2、利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)如果x,y∈(0,+∞),且xy=P(定值),那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2P。(简记:“积定和最小”)

S2

(2)如果x,y∈(0,+∞),且x+y=S(定值),那么当且仅当x=y时,xy有最大值。(简记:“和定

4积最大”)

3.常用的几个重要不等式

a+b?2?(1)a+b≥2ab(a>0,b>0); (2)ab≤

?2?(a,b∈R)。 a+b?2a+bba(3)?≤(a,b∈R); (4)+≥2(a,b同号)。

2ab?2?以上不等式等号成立的条件均为a=b。 4、条件最值的求解通常有两种方法

一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解; 二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值. 【走进高考】

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【例】【2019年高考浙江卷】如图,已知点F(1,0)为抛物线y?2px(p?0)的焦点,过点F的直线交抛

物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记

2△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.

(1)求p的值及抛物线的准线方程;

(2)求

S1的最小值及此时点G的坐标. S23,此时G(2,0). 2【答案】(1)p=2,准线方程为x=?1;(2)最小值为1?【解析】(1)由题意得

p?1,即p=2.所以,抛物线的准线方程为x=?1. 22(2)设A?xA,yA?,B?xB,yB?,C?xc,yc?,重心G?xG,yG?.令yA?2t,t?0,则xA?t.

22t?1t2?1y?1,代入y2?4x,得y2?由于直线AB过F,故直线AB方程为x?y?4?0, 2tt??故2tyB??4,即yB??211?12?,所以B?2,??.又由于xG??xA?xB?xc?,yG??yA?yB?yc?及

t?t33?t??1?2?1???2t4?2t2?2?2重心G在x轴上,故2t??yc?0,得C???t?,2??t??,G?,0?. 2??t??t???3tt???所以,直线AC方程为y?2t?2tx?t2,得Qt2?1,0.由于Q在焦点F的右侧,故t2?2.从而

????422t?2t?21?1?|2t||FG|?yA23tS122t4?t2t2?22.令m?t?2,则m>0, ???4?2?4422t?2t?22S21|QG|?yt?1t?1|t2?1?|?|?2t|c23t2tSS1m113.当m?3时,1取得最小值?2?2?2?…2??1?3S2S2m?4m?323m??42m??4mm

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1?3,此时G(2,0). 2【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力.

【例】.【2019年高考天津卷文数】设x?0,y?0,x?2y?4,则

(x?1)(2y?1)的最小值为__________.

xy【答案】

9 2(x?1)(2y?1)2xy?2y?x?12xy?55???2?.因为x?0,y?0,x?2y?4, xyxyxyxy【解析】所以x?2y?4?2x?2y,即2xy?2,0?xy?2,当且仅当x?2y?2时取等号成立. 又因为2?(x?1)(2y?1)5199?2?5?=,所以的最小值为. xy22xy2【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.

?x2?2ax?2a,x?1,【例】【2019年高考天津理数】已知a?R,设函数f(x)??若关于x的不等式

x?alnx,x?1.?f(x)?0在R上恒成立,则a的取值范围为

A.0,1 C.0,e 【答案】C

??

B.0,2 D.1,e

??????x2【解析】当x?1时,f(1)?1?2a?2a?1?0恒成立;当x?1时,f(x)?x?2ax?2a?0?2a?x?12x2(1?x?1)2(1?x)2?2(1?x)?1x2 恒成立,令g(x)?,则g(x)??????1?x1?x1?xx?1

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