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专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
答案部分 2019年
1．解析：BC?AC?AB?(1,t?3)，则1?(t?3)2?1，得t?3，即BC?(1,0)，所以
uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?BC?(2,3)?(1,0)?2.故选C.
2.解析 a?c?a?(2a?5b)?2a2?5a?b?2， 因为c2?(2a?5b)2?4a2?45a?b?5b2?9， 所以|c|?3，所以cosa,c?a?c2?.
|a||c|3 2010-2018年
1．A【解析】通解 如图所示，
AEBDC
uuuruuuruuur1uuur1uuur11uuuruuur1uuuruuurEB?ED?DB?AD?CB??(AB?AC)?(AB?AC)
22222r1uuur3uuu?AB?AC．故选A． 44uuuruuuruuuruuur1uuuruuur11uuuruuur优解 EB?AB?AE?AB?AD?AB??(AB?AC)
222r1uuur3uuu?AB?AC．故选A． 44222．C【解析】∵a?3b?3a?b，∴(a?3b)?(3a?b)，∴a?6a?b?9b?
229a2?6a?b?b2，又|a|?|b|?1，∴a?b?0，∴a?b；反之也成立，故选C．
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3．B【解析】a?(2a?b)?2a?a?b?2?(?1)?3，故选B．
4．A【解析】因为m,n为非零向量，所以m?n?|m||n|cos?m,n??0的充要条件是
2cos?m,n??0．因为??0，则由m??n可知m,n的方向相反，?m,n??180o，
所以cos?m,n??0，所以“存在负数?，使得m??n”可推出“m?n?0”；而
m?n?0可推出cos?m,n??0，但不一定推出m,n的方向相反，从而不一定推得
“存在负数?，使得m??n”，所以“存在负数?，使得m??n”是“m?n?0”的充分而不必要条件．
5．B【解析】由n?(tm?n)可得n?(tm?n)?0，即tm?n?n?0，
2n2n2|n|2????所以t??
1m?n|m|?|n|cos
22uuur3uuur3rruuuruuuruuur1r3rr5r3rDF?DE?(b?a)，AF?AD?DF??a?(b?a)??a?b，
242444uuuruuur5rr3r2531∴AF?BC??a?b?b????，故选B.
44848m?2?， 7．D【解析】由向量的坐标运算得a?b??4，∵(a?b)?b，∴(a?b)?b?12?2(m?2)?0， 解得m?8，故选D．
1331uuuruuur???BA?BC2222?3， uruuur?8．A【解析】由题意得cos?ABC?uu1?12|BA|?|BC|所以?ABC?30，故选A．
orrrrr2rrr29．A 【解析】由题意(a?b)?(3a?2b)?3a?a?b?2b?0，
r2rrr222222)?cos??2?0， 即3a?abcos??2b?0，所以3?(33独家 / 专业 数学讲义（四季版、分基础+提高+拔尖） 联系微信：ketang444
cos??2?，??，选A． 2410．B【解析】对于A选项，设向量a、b的夹角为?，∵|a?b|?|a||b|cos?≤|a||b|，
∴A选项正确；对于B选项，∵当向量a、b反向时，|a?b|≥||a|?|b||，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出(a?b)?(a?b)?a?b，故D选项正确，综上选B． 11．D【解析】如图由题意，
22A2aB2a+bC
DuuuruuuruuurrrrrrrrBC?AC?AB?(2a?b)?2a?b，故|b|?2，故A错误；|2a|?2|a|?2， ruuuruuurrrrr2rr所以|a|?1，又AB?AC?2a?(2a?b)?4|a|?2ab?2?2cos60o?2，
rruuuruuuruuur所以a?b??1，故B,C错误；设B,C中点为D，则AB?AC?2AD， uuuruuuruuurrr且AD?BC，所以4a?b??C，故选D．
??uuuruuururuuur1uuuruuurruuuruuur1uu1uuu12．A【解析】EB?FC??(BA?BC)?(CA?CB)?(AB?AC)?AD．
222213．A【解析】由(a?b)?10 ①，(a?b)?6 ②，①?②得a?b?1．
214．B【解析】由题意得3?1?3?3m，两边平方化简得63m?18， ?cos?262?9?m2解得m?3，经检验符合题意．
rruruuruuruuruuruuruuruur15．B【解析】设S?x1?y1?x2?y2?x3?y3?x4?y4，若S的表达式中有0个a?b，
r2r2r2r2rrrr则S?2a?2b,记为S1,若S的表达式中有2个a?b,则S?2a?2b?2a?b,
rrrrrr记为S2，若S的表达式中有4个a?b，则S?4a?b，记为S3，又|b|?2|a|，
r2r2rrrr2所以S1?S3?2a?2b?4a?b?2(a?b)?0，
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r2r2rrrr2S1?S2?a?b?2a?b?(a?b)?0，
rrrr2rrS2?S3?(a?b)?0，∴S3?S2?S1，故Smin?S3?4a?b，设a,b的夹角为?，
则Sminrrr2r21??4a?b?8|a|cos??4|a|，即cos??，又??[0,?]，所以??．
2316．B【解析】对于A，C，D，都有e1∥e2，所以只有B成立．
bt?a2t2，令f(t)?b2?2agbt?a2t2， 17．B【解析】由于|b?ta|2?b2?2ag而t是任意实数，所以可得f(t)的最小值为
4a2b2?(2ab)24a2b2?4a2b2cos2?4b2sin2????1， 224a4a4即|b|sin??1，则知若?确定，则|b|唯一确定． 18．C【解析】∵2a?3b?(2k?3,?6)，(2a?3b)?c，
所以(2a?3b)?c=2(2k?3)?6?0。解得k?3，选C
19．C【解析】 因为AC?BD?1?(?4)?2?2?0，所以AC?BC，所以四边形的面积
2212?22?(?4)2?22|AC|?|BD|??5，故选C． 为
22uuuruuur20．D【解析】由题意，设|AB|?4，则|P0B|?1，过点C作AB的垂线，垂足为H，
在AB上任取一点P，设HP0?a，则由数量积的几何意义可得，
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurPB?PC?|PH||PB|?(|PB|?(a?1))|PB|，P??|P0B?PC00H||P0B|??a，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur(|PB|?(a?1))|PB|≥?a恒成立， 于是PB?PC≥P0B?PC0恒成立，相当于
uuur2uuur22整理得|PB|?(a?1)|PB|?a≥0恒成立，只需??(a?1)?4a?(a?1)≤0
即可，于是a?1，因此我们得到HB?2，即H是AB的中点， 故△ABC是等腰三角形，所以AC?BC．
CAPHP0B