其中，
2pn?k2???vl。 m，
或积分为
y(t)??t10F(?)sinpn(t??)d??mpnt1kat1[?sinpn(t??)d???cos??sinpn(t??)d?]0mpn0?2a?2[cospnt?cospn(t?t1)2pn??
3-9 图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。
3-10 图3-10所示的箱子从高h处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量m运动，并且箱体质量远大于m。若箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。
图3-9 图3-10
第四章 多单自由度系统的振动
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4-1 图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m1?m2?m3?m，
k1?k2?k3?k4?k5?k6?k。试求系统的固有频率及振型矩阵
图4-1
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
?m00??3k?K???kM??0m0??????00m??，??k?k3k?k?k??k??3k??
由频率方程
K?p2M?0，得
3k?mp2?k?k
解出频率为
?k3k?mp2?k?k?k?03k?mp2
p1?kkkp2?2p3?2m，m，m
?(3k?mp2)2?k2?????k2?k(3k?mp2)??k2?k(3k?mp2)???2由特征矩阵B?K?pM的伴随矩阵的第一列，
adjB(1)
将
p1?km代入得系统的第一阶主振型为
A(1)??111?
TA(2)满足如下关系：
2(A(1))TMA(2)?0，(K?p2M)A(2)?0
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(2)(2)(2)(2)(2)(2)A?A?A?0A?1。A?0A??1123312展开以上二式得，。取，，可得到
即有
A(2)???101?
TA(3)满足如下关系：
2(3)(A(1))TMA(3)?0，(A(2))TMA(3)?0(K?p3M)A?0
(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)A?A?A?0?A?A?0A?A1231313展开以上二式得，，，联立得。取(3)(3)A1(3)?1，A3?1，可得到A2??2。即得
主振型矩阵为
A(3)??1?21?
T
?1?11??A??10?2???1??11?
图4-2
&4-2 试计算图4-2所示系统对初始条件x0??0000?和x00v?的0??vTT响应。
解：在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
?1?1???1???1?1 1?2?(1?2) 1?m?0M???0??0Ap?A?1??A?2?A?3?A?4???11?1??1?11?2?11?2??A???12?1?1?1?2???1111?????1 1?2??1?(1?2)?? 1 1??000?m00??0m0??00m? 1 ?1主质量振型为
000? ?4.000?0??0.41400T? MP?AMA?m??004.0000???00013.657??
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正则振型的第i列为
i)A(N?1MiA(i),由此得到正则振型振型为
?0.5000?0.65730.5000?0.2706???1?0.5000?0.2706?0.50000.6533?AN?m?0.50000.2706?0.5000?0.6533???0.50000.2706? ?0.50000.6533正则坐标初始条件为
?0.5000??0.6533TxN(0)?ANMx0?m??0.5000???0.27060.50000.5000??1??0.27060.27060.6533???0?0.5000?0.50000.5000??0??0.6533?0.65330.2706??00.5000??1?0.6533???00.5000??0??0.2706??00.5000000??0??0?????100???0???0?010??0??0??????001??0??0?0.50000.5000?0.5000??0.6533?0.27060.2706T&&xm?N(0)?ANMx0??0.5000?0.5000?0.5000???0.27060.6533?0.6533000??v??1?????0?100??0??mv???1?010??0??????001??v??0? m?v0v0?
TxN(0)?ATNT??x(0)?AMx0= 0，NNMx0= 正则坐标的响应为xN1?mvt，xN2?0，为xN3?vmsinp3tp3，xN4?0其中频率
p3?2km。 (1)(2)(3)(4)Ax?Ax?x?Ax?ANN2NN3NN1NxN4，展开得到 最终得到响应,由?x1??1??1??x?????v??1??2?vt?1??cosp3t???????x1?122p3?3???????x1???1??4? 1?v?(t?sinpt)3??2p3??1?v?(t?sinpt)3??2p3?1??2??3??4??x?ANxN1?ANxN2?ANxN3?ANxN4???v?1(t?sinpt)3??2p3???v?1(t?sinpt)?3?2p3??
解：从6—6中可得主频率和主振型矩阵为
p1?0 , p2?k?2?2?m,p3?2kk , p4?(2?2)mm
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?m000???0m00?M???00m0???000m??，可求出主质量矩阵 由质量矩阵
则正则振刑矩阵为
000??1??02?200?Mp?APTMAP?4m??0010????0002?2???
??(2?2)2?2?11??22????22??1?1?1?22?AN?2m?2?2??1?1?22???2?22?2?1?1??22?
1111????22?2???(2?2)?2m?2222?AN?1???1?1?11?2??2?22?22?2????2222?
T?1X0?AX?0000????N0于是 N
于是得
&?0??A?1X&?vmXNN0?0vm0?T
&?0?t?vtmXN1?XN1 &?0?XXN2?N2sinp2t?0p2 &?0?XvmXN3?N3sinp3t?sinp3tp3p3
&?0?XXN4?N4sinp4t?0p4
所以响应为
X?AN?1?XN1?AN?2?XN2?AN?3?XN3?AN?4?XN4，
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