3.4《基本不等式》教案(新人教版A必修5)(3课时)全面版

课题: §3.4基本不等式ab?第1课时

a?b 2授课类型:新授课 【教学目标】

1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;

3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式ab?【教学难点】 基本不等式ab?【教学过程】

a?b的证明过程; 2a?b等号成立条件 21.课题导入 基本不等式ab?a?b的几何背景: 2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系

2.讲授新课 1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2?b2。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a?b。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:a?b?2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a?b?2ab。 2.得到结论:一般的,如果a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a?b时取\?\号) 3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为 a?b?2ab?(a?b)

22222222222a?b时,(a?b)2?0,当a?b时,(a?b)2?0,

2所以,(a?b)?0,即(a?b)?2ab.

224.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式ab?a?b 2特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得a?b?2ab,

a?b(a>0,b>0) 2a?b 2)从不等式的性质推导基本不等式ab?

2通常我们把上式写作:ab?用分析法证明:

a?b?ab (1) 2只要证 a+b? (2) 要证(2),只要证 a+b- ?0 (3)

要证

要证(3),只要证 ( - ) (4) 显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。 3)理解基本不等式ab?2a?b的几何意义 2探究:课本第110页的“探究”

在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式ab?何解释吗?

2

易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD=CA·CB 即CD=ab. 这个圆的半径为

a?b的几2a?ba?b,显然,它大于或等于CD,即?ab,其中当且仅当点C与圆22a?b几何意义是“半径不小于半弦” 2心重合,即a=b时,等号成立. 因此:基本不等式ab?评述:1.如果把

a?b看作是正数a、b的等差中项,ab看作是正数a、b的等比中项,那2a?b为a、b的算术平均数,称ab为a、b的几何平均数.本节2么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中,我们称

定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题]

例1 已知x、y都是正数,求证:

(1)

yx?≥2; xy2

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(2)(x+y)(x+y)(x+y)≥8xy.

分析:在运用定理:

a?b?ab时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把2xy2233

>0,>0,x>0,y>0,x>0,y>0 yx握好每条性质成立的条件),进行变形.

解:∵x,y都是正数 ∴

(1)

xyxyxy??2?=2即?≥2.

yxyxyx2

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(2)x+y≥2xy>0 x+y≥2x2y2>0 x+y≥2x3y3>0 ∴(x+y)(x+y)(x+y)≥2xy·2即(x+y)(x+y)(x+y)≥8xy.

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x2y2·2x3y3=8x3y3

3.随堂练习 1.已知a、b、c都是正数,求证

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc

分析:对于此类题目,选择定理:解:∵a,b,c都是正数 ∴a+b≥2ab>0

a?b?ab(a>0,b>0)灵活变形,可求得结果. 2b+c≥2bc>0 c+a≥2ac>0

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab·2bc·2ac=8abc 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

4.课时小结 本节课,我们学习了重要不等式a+b≥2ab;两正数a、b的算术平均数(何平均数(ab)及它们的关系(

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a?b),几2a?b≥ab).它们成立的条件不同,前者只要求a、b2都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:aba2?b2a?b2≤,ab≤().

225.评价设计 课本第113页习题[A]组的第1题 【板书设计】

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