学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总
一直跟着孩子在学而思秋季四年级超常3班听课，有一些有难度的题目，为了孩子们温习和家长们参考，特进行汇总，并给出解题思路和答案，和大家一起分享。
声明：本文档只是收录了各讲有点难度的题目，并对难题进行解析、分级等，并未对各讲内容进行总结和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。
第一讲 整数与数列
找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程。
1、【例2】一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于：______，从这列数的第______个数开始，每个都大于2007。 【难度级别】★★☆☆☆ 【解题思路】找规律。 第1个：3 第2个：6＝3×2
第3个：18＝(3+2×3)×2＝3×(1+2)×2＝3×3×2＝32×2 第4个：54＝(3+6+18)×2＝(3+3×2+3×3×2)×2＝(3×3+3×3×
2)×2＝(3×3×3)×2＝33×2 ??
第n个：3n-1×2
这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的3倍(第1、2个数除外)，前8个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。
由公式，第6个数：35×2＝486。
由3n-1×2 > 2007，得3n-1 > 1003.5，n>=8（其实，第6个数是486，第7个数就是486×3＝1458，第8个数1458×3＝4374>2007）。 【答案】486，8。
2、【例5】计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16
计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + ? + 49×51
【难度级别】★☆☆☆☆
【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数。
2个数的中间数＝2个数的和除以2，或者＝小的数 + 2个数的间隔的一半（大的数 - 2个数的间隔的一半）。例如11和19的中间数是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中间数是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。 计算题中平方差的应用主要是找准中间数。
另外，项数要数对了，例如第2道计算题是49项，而不是50项。
(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870 (2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+?+(502-12) =502×49-(492+482+472+?+12) =2500×49-49×50×99÷6=82075 【答案】870，82075。
3、【学案4】计算：2×4 + 4×6 + 6×8 + ? + 28×30 【难度级别】★☆☆☆☆
【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+?+n2=n(n+1)(2n+1)/6。 每个乘积的2个数分别提取个2，2×2＝4，相等于提取4。 2×4 + 4×6 + 6×8 + ? + 28×30
＝4×（1×2 + 2×3 + 3×4 + ? + 14×15）
括号内的，例题讲过，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n 这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数）。 ＝4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + ? + 142+14） ＝4×[（12+22+32+?+142+）+（1+2+3+?+14）] ＝4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）＝4480 【答案】4480。
4、【学案1】我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？
【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的。当然本题考孩子的是找规律。
先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的。
1111155555＝1111100000 + 55555
＝11111×100000+11111×5 ＝11111×（100000+5）
＝11111×100005（因100005比11111大，想办法变小） ＝11111×20001×5（先考虑是5的倍数） ＝11111×6667×5×3（再看到20001是3个倍数） ＝33333×33335
从11111×6667×5×3这个式子可以看出来，11111×3得到3万多，6667×5也得到3万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法）。 找规律，方法如下： 1个1，1个5，15＝3×5 2个1，2个5，1155＝33×35 3个1，3个5，111555＝333×335 ??
n个1，n个5，11?155?55＝33?3×33?35(都是n位数) 所以，5个1，5个5，1111155555＝33333×33335
【答案】可以，1111155555＝33333×33335。
5、【学案2】47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？
【难度级别】★★★☆☆
【解题思路】此题，孩子可能无从下手。
先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。
要想奇数最多，肯定越小越好，所以从1、3、5开始考虑，从1、3、5一直加到多少会接近2000呢？假设有n个奇数，第n个奇数是2n-1。 1+3+5+?+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2 n=44时，n2=1936；n=45时，n2=2025
所以n最大为44，47－44＝3，偶数最多3个。
给出一例：2000=1+3+5+?+85+87+(2+4+58)，保证3个偶数和为64即可（2000-1936=64）。 【答案】最少有3个偶数。
6、【作业1】计算：12345678987654321×9＝_____________ 【难度级别】★★☆☆☆
【解题思路】这道题，将9变成(10-1)也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律。 12=1 112=121