型实验中的这振幅和波速分别是多少？
习题六 理想流体动力学方程组和边界条件
（本习题中除特殊说明外，流体均为均匀不可压理想流体）
1． 流体边界如下，求边界面的法向速度。
x2y22tant?2cot2t?1 2ab2． 椭圆柱以速度u作垂直于其轴线的直线运动，试写出椭圆柱的曲面方程式。 3． 试导出在柱坐标和球坐标系下，活动边界的边界条件。 4． 炸弹在水下很深的地方爆炸，证明水中任一点的压强与
A
这
点到炸弹中心的距离成正比。
5． 一垂直折管A B C（?ABC??/2），C端封闭，
并使AB段竖直放置（如图4-1）。管中充满液体。 如果将C端开放，试证明在开启的瞬间，垂直管 中的压强减少一半（如果 AB=BC ），并求水平 管中压强的变化（不计大气压强）。
6． 设有不可压重流体，盛在直立的圆柱形容器内，以等角速度?绕圆柱轴线稳定旋转。若
已知流体静止时液面的高度为h，圆柱半径为a，不计大气压强，试求： （1）流体内部的压强分布； （2）自由表面的形状；
图4-1
B
C
（3）容器底部受的总压力。
7． 设某流动的速度势在柱坐标系下可以表示为??k?，且自由表面压强为常值，于r为
无穷远处，水面高为h，试求自由表面的方程式。
8． 水平直细管内有一长为2Ｌ的不可压缩流体，流体受管中点的吸引，引力与到管中点的
距离呈正比。求流体的速度及压强分布。不考虑大气压强。
9． 截面均匀的垂直细管 在下端分为水平的两
个小管BC 和 CD，其截面积为垂直管截面积一半，（见图4-2），在管子结合处各有龙
头开关，关闭龙头并使液体在垂直管中的高度为a。当两龙头打开后，试求液体的运动规律。
10．设空气中有一肥皂泡，成球状，如果肥皂泡以规律R=R(t)膨胀，且认为膨胀率很小，
因而空气可以看作是不可压缩的，试求肥皂泡的表面压强，设无穷远处气体的压强为
A a C B D 图4-2
p0，且不计质量力。
11．液体置于封闭的圆柱形筒内，受外力的作用自静止开始绕筒的轴线运动，已知外力在
x和y方向的两分力分别为X??x??y，Y??x??y证明：
d?1?(???) dt211p???2x2?y2??x2?2(???)xy??y2?C
22???? 已知角速度?仅为时间t的函数，且?，?，?，?均为常数，不考虑重力的作用。 12．在流体内部突然形成了一个半径为a 的球形空穴，假定流体为不可压缩并且充满整个
空间，试决定流体充满空穴所需要的时间。（假定无穷远处流体的速度为0，压强为 P0） 13．一完全浸没在不可压缩流体内部的球照规律R=R(t) 膨胀，试决定球面上的流体压力。
14．均匀截面直细管内的气体服从Boyle 定律(p?k?)，试证明：
?2??2?2[(v2?k)?] 2?t?x式中?为密度，v 为速度，x为离开参考点的距离。
15．试从欧拉观点出发，对于小微元推导平面辐射流动[VR?VR(R),V??Vz?0]沿径向(R方向)的运动方程(应力形式)。
16．在直角坐标系(x,y,z)下，均质不可压缩流体定常运动的速度为u?ay, v?0，
w?0(a是常数)，流体内能U和温度T只是y的函数。设流体粘度?等于常数，热传导
系数k?k(T)，质量力只考虑重力g(沿z方向)，无其它热源(q?0)。试从欧拉观点出发，取一小微元，推导出能量方程。
17．一个无限大的平板原来静止，其一侧的半空间充满原来也是静止的均质不可压缩粘性流体（粘度为常数）。t?0时刻此平板突然以常速度U沿板面某一方向滑移。假设半空间中流体速度都与U平行，且只与到平板的距离及时间t有关，压强p处处均匀，不计质量力。（1）请选择适当的坐标系，画图注明；（2）指出应力张量中哪些分量恒为零，并把全部非零分量用流体速度和压强表示出来；（3）选择适当的小微元体积（画图），从欧拉观点出发，推导运动方程（最后的方程用速度表达），并列出定解条件。
习题七 理想流体动力学方程的积分
（本习题中，除特殊说明外，流体均为理想不可压流体）
1． 绝热气体（p?k?）沿一直细管流动，如果不计质量力，试证明多项式
?
?22?p??? V?????1???沿管子为常值。式中v为流体的流速，p、?分别表示压强和密度。如果沿流动方向管子是收缩的，那么当V???p时，V将沿流动的方向增加，p/?将沿流动的方向减少。 2． 设气体状态满足p?k?，气体通过一细导管流出一大的密闭容器。已知容器内的压强
为大气压强p0的n倍。不考虑容器内流体的势能，证明流出的速度V由下式给出：
11???2?p2?0?V?n?1?， ?????1????2?式中?为出口处的密度。
3． 有一截面变化的长方形沟渠，底部水平，水定常地通过此渠。如果V，h 分别为流体的
速度和流体表面的高度，当V2?gh时，则高度h将随沟渠宽度的增加而增加，而流速
将随沟渠宽度的增加而减少，试证明之。 4． 在一流管中取两个断面，两断面间流体总质量为
M，两个断面上的速度势分别为
s y
?1?c1、?2?c2，试证明此两断面间流体的动
能可写为：T?M?c1?c2?。 2h
图5-1 5． 如图5-1，虹吸管 y=2m ，h=6m ，管的直径
为15cm，求
h a）管内的流量 b）最高点s处的压强
c）假如y为未知，求虹吸管吸不出水时y 为何值。
6．任意形状的物体置于等速定常流动的无限流体中。试证明流体不受任何阻力。 7．有一均匀截面之折管内充以不可压缩流体（图5-2），Ｂ处有一开关，当 t＜0 时，开关