x[a,b,?]?0，即1y0z0?2y?z?0. （3）
21,y??,z?332212，所以???{,,?}. 333301?2由（1）（2）（3）式联立解得x??注：欲求一个向量，即是求满足一定条件的向量的坐标.
（1）当所求向量平行于向量a?{ax,ay,az}（或与之共线）时，可设所求向量为
P?{?ax,?ay,?az}，然后利用其他条件求得?.
（2）当所求向量垂直于向量a时，可设所求向量为P?{x,y,z}，由此得方程，再与其他两个条件所建立的方程联立，求得x,y,z.
（3）当所求向量同时垂直于两个向量a和b时，即说明所求向量平行于向量a?b，故可设所求向量为P??(a?b)，然后利用其他条件求得?. 练习题9 求过直线L1:x?1y?2z?3x?2y?1z，且平行于直线L2:????的平
10?1211面?的方程.
分析：求平面方程一般考虑用点法式方程，即要求出平面的法向量.注意到该法向量同时垂直于两条直线，故法向量可取这两条直线的方向向量的外积. 如果已知平面过一条已知直线，经常可考虑用平面束方程求得.
解：方法1 根据题意，平面?过直线L1，所以?过直线L1上的点(1,2,3).又因为平面
ijk?过直线L1且平行于直线L2，所以平面?的法向量为n?10?1?{1,?3,1}，因此平
211面?方程为1?(x?1)?3?(y?2)?1?(z?3)?0，即x?3y?z?2?0.
方法2 将直线L1:?y?2 x?1y?2z?3变为一般式?.故可设所求平面?的??10?1x?z?4?0?方程为y?2??(x?z?4)?0，即?x?y??z?2?4??0，其法向量为{?,1,?}.由
1?//L2得2???1?1?1???0，解得???.故平面的方程为x?3y?z?2?0.
3 练习题10 求由平面x?2y?2z?6?0和4x?y?8z?8?0构成的二面角的平分面方程.
分析：两个平面构成的二面角有两个，所以本题的解为两个平面.本题的解法也有两种，一是利用平分面上任一点到已知二平面的距离相等；二是利用平面束方程.
解：方法1 设M(x,y,z)为所求平面上的任一点，根据题意，M到两已知平面的距
离相等，所以x?2y?2z?61?2?(?2)222?4x?y?8z?84?(?1)?8222，即
3x?2y?2z?6?4x?y?8z?8，
因此 3x?6y?6z?18??(4x?y?8z?8)，
故所求平面方程为x?7y?14z?26?0，或7x?5y?2z?10?0
方法2 设所求的平面方程为x?2y?2z?6??(4x?y?8z?8)?0，其法向量为根据题意，n与n1所夹锐角和n?{1?4?,2??,?2?8?}.记n1?{1,2,?2},n2?{4,?1,8}，
n与n2所夹锐角相等，所以
n?n1nn1?n?n2nn2，解得???1，故所求平面方程为3x?7y?14z?26?0，或7x?5y?2z?10?0.
练习题11 一平面通过点(1,2,3)，它在正x轴，y轴上的截距相等，问当平面的截距为何值时，它与三个坐标面所围成的空间体的体积最小？并写出此平面的方程. 分析：这是求最小值的问题.先写出体积表达式，再利用求最值的方法求解.
xyz???1，根据题意，a?b，故平面方程为abcxyz1233a. ???1，因为点(1,2,3)又在平面上，所以???1，解得c?aacaaca?3设此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积为V，则
解：设此平面的截距式方程为
12a3?9a213a1a39?0V?a?a??，令Va??，得（舍去），或. a?0a?2(a?3)26a?32a?32所以当a?b?9,c?9时，此平面与三个坐标面所围成的空间体的体积最小. 2 练习题12 设一直线过点P0(1,0,5)，并与平面?:3x?y?2z?15平行，又与直线
L:x?1y?2??z相交，试求此直线方程. 42 解：方法1 设所求直线与已知直线L的交点为M0(x0,y0,z0)，因为M0在直线L上，故有
x0?1y0?2??z0，于是有x0?1?4t,y0?2?2t,z0?t.因所求直线过点P0与M0，42故向量P故,y0,z0?5}是它的一个方向向量.又因为所求的直线与平面?平行，0M0?{x0?1?的法向量n?{3,?1,2}垂直，于是 向量P0M0与平面
n?P0M0?3(x0?1)?y0?2(z0?5)?12t?(2?2t)?2(t?5)?0.
由此解得t?1，故x0?5,y0?4,z0?1，即交点M0(5,4,1).故由两点式得所求的直线方程为
x?1y?0z?5，即x?1?y?5?z. ??5?14?01?5 方法2 过点P0(1,0,5)，且与平面?平行可作一平面?1；过点P0(1,0,5)与直线L也可作一平面?2.显然，所求直线为平面?1与?2的交线. 过点P0(1,0,5)，且与平面?平行的平面?1的方程为
3(x?1)?y?2(z?5)?0，即3x?y?2z?13?0.
直线L上点Q0(1,2,0)与点P0(1,0,5)构成向量PQ00?{0,2,?5}，直线L的方向向量
s?{4,2,1}，则平面?2的法向量n?PQ00?s?4{3,?5,?2}，于是由点法式方程得平面?2的方程为3(x?1)?5y?2(z?5)?0，即3x?5y?2z?7?0.
因此，所求的直线方程为??3x?y?2z?13?0.将它化为点向式方程即为方法1的结果.
?3x?5y?2z?7?0?x?y?z?1?0在平面?:x?y?z?0上的投影直线l方程，
?x?y?z?1?0 练习题13 试求直线L:?并将它写为点向式方程.
解：方法1 过直线L且垂直于平面?的平面记为?1，?1的法向量记为n1，显然n1垂直于平面?的法向量n?{1,1,1}，又垂直于直线L的方向向量s，而s同时垂直于构成直线
L的两张平面的法向量，故有s?{1,1,?1}?{1,?1,1}?{0,?2,?2}.于是
n1?n?s?{1,1,1}?{0,?2,?2}?{0,2,?2}.
再在直线L任取一点，如取点(0,1,0)，于是过直线L且垂直于平面?的平面?1的方程为
2(y?1)?2z?0.将它与平面?的方程联立即得L在?上的投影直线方程
?y?z?1?0 l:?.
x?y?z?0?投影直线l的方向向量s1?{0,1,?1}?{1,1,1}?{2,?1,?1}，并在l上任取一点(?1,1,0)，则
投影直线l的点向式方程为
x?1y?1z. ??2?1?1 方法2 由直线L的一般式方程知，以直线L为轴的平面束方程是
?(x?y?z?1)??(x?y?z?1)?0，即(???)x?(???)y?(????)z?(???)?0.
选出一张平面与平面?垂直，即1?(???)?1?(???)?1?(???)?0，故????.从而把它代入平面束方程得y?z?1?0，将它与平面?的方程联立便得如方法1的投影直线的方程.
练习题14 判断下列各题中两条直线的位置关系（是否平行、相交或重合）.若相交求出交点的坐标.若共面求出所确定的平面方程.
?x?3t?8x?3y?1z?2???,L2:?y?t?1. （1）L1:324?z?2t?6?（2）L1:x?1y?1z?1x?2y?2z. ??,L2:??2?11?42?2 解：（1）L1的方向向量s1?{3,2,4}，它通过点M1(?3,?1,2)，L2的方向向量
324s2?{3,1,2}，它通过点M2(8,1,6).因为??，所以s1与s2不共线，即L1与L2不平
312行也不重合，只需再判断是异面直线还是相交，不难算出M1M2?(s1?s2)?0，由此知L1与
L2共面.又已知L1与L2不平行，故它们相交.为求出交点的坐标，利用参数方程. L1与L2的
参数方程分别为：
?x?3t1?3?x?3t2?8???y?2t1?1，?y?t2?1. ?z?4t?2?z?2t?621???3t1?3?3t2?8516?则直线L1与L2相交?方程组?2t1?1?t2?1有解.不难解得t1??,t2??，从而代
33?4t?2?2t?62?1入即得交点坐标为(?8,?1314,?). 33（2）L1与L2的方向向量分别为s1?{2,?1,1},s2?{?4,2,?2}并且分别通过点
M1(1,?1,?1),M2(?2,2,0)，因为
2?11，所以s1与s2共面，又M1不在L2上，于是L1???42?2与L2平行.故通过M1(1,?1,?1)与M1M2?{?3,3,1},s1?{2,?1,1}平行的平面是