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3.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.掌握直线方程的一般式. 2.掌握一般式与其他形式的互化. 3.了解二元一次方程与直线的对应关系. 自学导引 1.一般式方程
(1)定义:关于x,y的二元一次方程______________(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
(2)斜率:直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0),当B≠0时,其斜率是__________,在y轴上的截距是__________;当B=0时,这条直线垂直于______轴,不存在斜率.
2.二元一次方程与直线的关系
二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的________,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条________.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.
对点讲练
知识点一 一般式与其他形式的互化
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是3,且经过点A(5,3); (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x,y轴上的截距分别是-3,-1.
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点评 任何形式的方程都可以化成一般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了.
由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的,而两点式和点斜式不惟一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式.
变式训练1 求直线3x+2y+6=0的斜截式和截距式方程.
知识点二 平行与垂直的应用
例2 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
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点评 一般地,直线Ax+By+C=0中系数A、B确定直线的斜率,因此,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0,这是经常采用的解题技巧.
称Ax+By+m=0是与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程.
参数m可以取m≠C的任意实数,这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0平行的平行线系.
当m=C时,Ax+By+m=0与Ax+By+C=0重合.
变式训练2 求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
知识点三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限,求a的取值范围.
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