实验四 多自由度系统各阶固有频率及其主振型的测定试
一、实验目的
实际工程中的许多振动都可以简化抽象为由两个及两个以上的独立坐标来描述的振动模型。这就是多自由度系统振动问题。本实验对两个和三个自由度系统振动问题进行测试分析，主要目的：
1、学会用共振法测定多自由度系统各阶固有频率的基本技术与方法。 2、了解和熟悉多自由度系统振动的各阶振型。
3、初步学会分析和处理理论解与实验结果之间误差的方法。
二、基本原理
实验模型是将两个或三个集中质量钢块固定在钢丝绳上，用不同的重量的质量块G来调整钢丝绳的张力（见图4-1（a）所示），固定在钢丝绳上的集中质量钢块在铅垂平面内沿垂直方向运动时，钢丝绳的张力相当于一个弹簧，忽略钢丝绳的质量，则整个系统就可以简化为多自由度系统振动的力学模型（如图4-1（b）所示）。
质量钢块 磁力表座
A B 质 A m 1 m 2 B 量 块 非接触激振器 G L / 3 L / 3 L / 3 实 验 台 X1 X2
激振信号源 （a） ( b)
图4-1 多自由度系统振动及其简化力学模型
振动系统有多少个自由度，从理论上讲就应当有同样多的固有频率。如果振动系统受到简谐力的激励，系统发生振动，则振动响应是其主振型的叠加。当激振力的频率与系统的某一阶固有频率相同时，系统就发生共振响应，这时候系统的振动响应就是这阶固有频率的主振型，而其它振型的影响可忽略不计。因此，可以利用这种共振现象来判定多自由度系统的固有频率。在测定系统振动的固有频率时，从低频到高频连续调整激振频率，当系统出现某阶振型且振幅最大时，此时的激振频率即为该阶固有频率，这样依此可找到系统的各阶固有频率。
n个自由度系统振动微分方程为
???CX??KX?F （4-1） M X式中：M为质量矩阵、C为阻尼矩阵、K为刚度矩阵、X为位移列向量、F为激振力列
向量。
为了讨论n个自由度系统振动的固有频率和主振型，不考虑阻尼和外力，则其振动微分方程为
???KX?0 （4-2） M X根据微分方程组和模态分析理论，假定系统的自由振动响应为
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xi??isin(? t??)将（4-3）式代入（4-2）式得
(i?1,2,?,n) （4-3）
??? M?K? ? ? ???0? （4-4）
式中：?=?。（4-4）式是关于列向量???的齐次代数方程，由此可得系统频率方程
2?? M?K?0 （4-5）
上式即为系统的特征方程，其根称为特征值，它是无阻尼自由振动固有园频率的平方，将特征值? i代入（4-4）式得相应的特征向量?? i?
??? iM?K?? ? i ??? 0 ? （4-6）
或
K? ? i??? iM? ? i ?(i?1,2,?,n) （4-7）
特征向量在振动分析中就是系统的固有振型或主振型。假定（4-5）式没有重根，存在n个特征值，相应有n个特征向量，这n个特征向量可组成一个矩阵，该矩阵称为振型矩阵。即
Φ=???1,? 2,?,?n? （4-8）
若系统为图2-1所示的两自由度系统，则
?mM??1?00? （4-9） m2???k11k12?K??? （4-10） kk?2122??x?X??1? （4-11）
?x2?根据（4-5）式，可得系统频率行列式
k11?? m1 k21展开上式即得频率方程
k12k22?? m2 ?0
m1m2?2?(m2k11?m1k22)??(k11k22?k12k21)?0 （4-12）
解之得系统的固有园频率
2?1,2??1,2?2k11m2?k22m12m1m2?1?k11k22?kk???1221 （4-13） ??4?m1m2?m1m2?2由上式可知，?即?的两个根都是实数，而且都是正数。其中第一个根?1较小，称
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为第一固有频率；第二个根?2较大，称为第二固有频率。
取m1=m2=m,钢丝绳的张力为T，则系统的刚度矩阵
K=
T? 6?3???3 6 ? （4-14） L??从而可以求得系统的固有频率：
一阶固有园频率和频率
?12?二阶固有园频率和频率
2?2?3TmL9TmL f1?1.7322?32?TmLT （4-15）
f2?mL （4-16）
系统的主振型?i（i=1,2）
?1??1? ?1??? ?2???
?1???1?各阶主振型见图4-2所示。 一阶主振型 二阶主振型 对于三自由度系统振动若取m1= 图4-2 两自由度系统振动的主振型
m2=m3=m, A、B两点距离为L，三个
质量钢块之间的距离为L / 4，则可得系统相应的质量矩阵、刚度矩阵和位移列向量
?m00? M??0m0? （4-17）
???00m???? 8?4 0?TK= ??4 8?4 ? （4-18）
?L??? 0?4 8???x1???X??x2? （4-19）
?x??3?将（4-17）和（4-18）式代入（4-5）式，得系统的频率方程，由此可求得三自由度系统振动的固有频率：
一阶固有园频率和频率
?12?2.343二阶固有园频率和频率
2?2?8TmL f1?1.5312?2.8282?TmLTmL （4-20）
TmL f2? （4-21）
三阶固有园频率和频率
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