1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质
1．在对平行四边形、矩形、菱形的认识基础上探索正方形的性质，并能运用正方形的性质进行证明与计算．(重难点)
2．进一步了解平行四边形、矩形、菱形及正方形之间的相互关系，并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．
阅读教材P20～21，完成下列问题： (一)知识探究
1．有________相等并且有一个角是________的__________叫做正方形．
2．正方形既是________又是________，它既具有________的性质，又有________的性质． 3．正方形的________相等，都是________，________相等． 4．正方形的对角线________________________． (二)自学反馈 正方形的性质：
1．边：________都相等且________． 2．角：四个角都是________．
3．对角线：两条对角线互相________且________，并且每一条对角线平分________． 4．正方形既是________图形，又是________图形，正方形有________对称轴．
活动1 小组讨论
例 如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下： 如图，延长BE交DF于点M. ∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)． ∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°. ∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF. ∴BE＝DF，
∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF.
本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用
做法．
活动2 跟踪训练
1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 2．正方形面积为36，则对角线的长为( )
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A．6 B．62 C．9 D．92
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，连接AE交CD于F，则∠AFC＝________°.
5．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE.求证：OE＝OF.
活动3 课堂小结
?角：正方形的四个角都是直角.?正方形对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，
的性质?每一条对角线平分一组对角.
?对称：既是轴对称图形，又是中心对称图形，?它有四条对称轴，其对角线交点为对称中心.
【预习导学】 (一)知识探究
1．一组邻边 直角 平行四边形 2.矩形 菱形 矩形 菱形 3．四个角 直角 四条边 4.相等且互相垂直平分 (二)自学反馈
1．四条边 对边平行 2.直角 3.垂直平分 相等 一组对角 4．中心对称 轴对称 四条 【合作探究】 活动2 跟踪训练
1．C 2.B 3.C 4.112.5
5．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC.
∴∠AOB＝∠BOC＝90°.又∵∠OBE＝∠OCF，∴△OBE≌△OCF.∴OE＝OF.
第2课时 正方形的判定
1．掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题．(重难点)
2．发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断．
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边：正方形的四条边都相等且对边平行.
阅读教材P22～24，完成下列问题： (一)知识探究
1．对角线相等的________是正方形． 2．对角线垂直的________是正方形． 3．有一个是直角的________是正方形． (二)自学反馈
1．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD 2．下列命题正确的是( )
A．两条对角线相等的菱形是正方形
B．对角线与一边的夹角是45°的四边形是正方形 C．两邻角相等，且有一角是直角的四边形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( ) A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
4．如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F.则四边形ABEF是________形．
活动1 小组讨论
例 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
11
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.
22∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴平行四边形BECF是菱形． 在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°， ∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形．
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掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．
活动2 跟踪训练
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．
2．如图，E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CG＝DH，四边形EFGH是什么图形？证明你的结论．
3．如图所示，点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．
活动3 课堂小结
1．对角线相等的菱形是正方形； 2．对角线垂直的矩形是正方形； 3．有一个角是直角的菱形是正方形．
【预习导学】 (一)知识探究
1．菱形 2.矩形 3.菱形 (二)自学反馈
1．D 2.A 3.C 4.正方 【合作探究】 活动2 跟踪训练
1．证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．
2．四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴HA＝EB＝FC＝GD.∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴Rt△AEH≌Rt△BFE≌Rt△CGF≌Rt△DHG.∴HE＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH是菱形．又∠AHE＝∠BEF，∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四边形EFGH是正方形． 3．证明：连接BD.∵点E，F，G，H分别是CD，BC，AB，DA的中点，∴EF是△BCD的中位线，GH是△ABD的中位线．∴11
EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．
22
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