第十一章 曲线积分与曲面积分
一、 第一类、第二类曲线积分的计算，格林公式 11.6
?xds=( )，其中L是连接(1,0)及(0,1)的直线段
LA.
122 B. C. D. 2 222解：如图所示，L所在直线方程参数为 y?1?x,x?x,0?x?1，
?Lxds??x?(x?)2?[(1?x)?]2dx012??x?2dx?021
所以，选B。
11.9
?(xL2?y2)ds=( )，其中L是圆周x?cost,y?sint(0?t?2?)
A.4? B.解：
? C.2? D.? 22?2?00?L(x2?y2)ds??(cos2t?sin2t)?[cos?t]2?[sin?t]2dt??dt?2?
所以，选C。
11.14 下列为第一类曲线积分的是( )； A．B．C．D．
R3中的光滑曲线 ，其中为f(x,y,z)ds???R3中的光滑曲线 ，其中为f(x,y,z)dx????f(x,y,z)dy，其中?为R?3中的光滑曲线 中的光滑曲线
?f(x,y,z)dz，其中?为R?3解：由第一类曲线积分的表示，选A。
11.18 L为曲线x?cost,y?sint上t?0到t??的一段弧，则
?(x?y)ds? ( )；
LA. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 解：
?(x?y)ds??L?0(cost?sint)?[cos?t]?[sin?t]dt??(cost?sint)dt?2
022?所以，选D。
12x上x?0到x?1的一段弧，则?xds? ( )； 2L12242 C．(22?1) D． 2 A．(22?1) B．
33333111122221解：?xds??x?1?[y?]dx??x?1?xdx?(1?x)|0?(22?1)
0033L11.21 L为曲线y?
1
所以，选A。
11.25 设L是圆周x2?y2?a2在第一象限内的弧段,则(A)?e； (B)
a?Lex2?y2ds?( ).
?2a； (C)
?2aea； (D)
?2ea.
解：L的参数方程为：x?acost,y?asint,0?t??2，所以，
?Lex2?y2?ds??2eaa2cos2t?a2sin2tdt?0?2aea
所以，选C。
11.27 设C是由直线x?0,y?0,x?4,y?2所构成的矩形回路，则(A) 22 （B）23 (C) 24 (D) 25 解：作图可知，
?Cxyds=（ ）
?Cxyds??4ydy??2xdx?24，所以，选C。
002411.35 设L为x?6,0?y?3203，则?4ds? 2L解：作图可知，
?4ds??L4dy?6，所以，填6。
?的一段弧，则?yds? 2L11.39 L为曲线x?cost,y?sint上t?0到t??解：
?yds??L20sintdt?1，所以，填1。
11.42 L为y?x上从x?0到x?1的直线段，则
?yds?
L解：
?yds??x?2dx?L0122，所以，填。 22?x?acost,z2?11.45 设L是曲线?y?asint,上由t?0到t?2?的一段弧, 则?2ds?
Lx?y2?z?at?解：
2?z2(at)222??ds??(acost)?(asint)dt?Lx2?y2?0(acost)2?(asint)2?a?t2dt?02?8?a33
8?3a。 所以，填311.1已知曲线积分
?Ly?f(x)?x?dx?(ex+y)dy与路径无关，其中函数f(x)可微，则
xxf(x)?( ).
(A) e?x (B) e (C) e?x?1 (D) 1?x
2
x解：因为曲线积分
?Ly?f(x)?x?dx?(ex+y)dy与路径无关，所以
?(ex+y)?y(f(x)+x) ??x?yxx即e?f(x)+x，故f(x)?e-x，所以，选A。
11.8 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，f(x)有二阶连续导数，且g(x)是f(x)的一个原函数，则
?Lf(x)g(y)dx?f(y)g(x)dy?( )
A.1 B.-1 C.0 D.-2
解：因为f(x)有二阶连续导数，且f(x)是g(x)的一个原函数，所以，
?(f(y)g(x))?(f(x)g(y))?f(y)?g?(x)?f(x)?f(y) ?f(x)?g?(y)?f(x)?f(y)，
?x?y?(f(x)g(y))?(f(y)g(x))f(y)g(x)dy0?，所以，选C。所以，，故?f(x)g(y)dx? ?L?y?x11.11 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，面积为2，则
?xyL[yexy?y]dx?[xexy?x]dy?( )
A.2 B.-2 C.0 D.4
解：因为闭区域D由分段光滑的曲线L围成，面积为2，由格林公式，
?(xexy?x)?(yexy?y)[?]dxdy?2??dxdy?4 ?L[ye?y]dx?[xe?x]dy????x?yDDxy所以，选D。
11.16 下列第二类曲线积分与路径无关的是( )； A．?xL3dx?3x2ydy B．?x3dx?3x2ydy
LLC．?xL3dy?3x2ydx D．?x3dy?3x2ydx
2?x32?(3xy)解：因为?3x,?3x2，所以，选C。 ?x?y11.20 设L:x?y?4，取逆时针方向，则ydx?xdy? ( ). (A)
22?L? (B) 2? (C) 0 (D) 3?
解：由格林公式，
?Lydx?xdy???[D?x?y?]dxdy?0，所以，选C。 ?x?y222xydx?2xydy?( )； ?L211.23 L为y?x与y?x所围闭域的正向边界，则
A．0 B． ?1 C．1 D． 2 解：由格林公式，
?L?(2x2y)?(2y2x)ydx?xdy???[?]dxdy?0，所以，选A。
?x?yD211.28 设C是抛物线y?x上，从点(1,?1)到点(1,1)的一段弧，则xydx=（ ）
?c(A)
14 (B) (C) 2 (D) 0 25解：由画图形易得，
?cxydx??x?(?x)dx??x?xdx?2?xdx?100011324，所以，选B。 5 3