位移矢量D 的分布．在介质中D??0?rE，P?D??0E，可进一步求得电场强度E 和电极化强度矢量P 的分布． 解 由介质中的高斯定理，有
?D?dS?D?2πrL?λL
得
D?在均匀各向同性介质中
λer 2πrE?Dλ?er ε0εr2πε0εr?1?λP?D-ε0E???1-ε??2πrer
?r?6 －23 如图所示，球形电极浮在相对电容率为εr ＝3.0 的油槽中.球的一半浸没在油中，另一半在空气中.已知电极所带净电荷Q0 ＝2.0 ×10 C.问球的上、下部分各有多少电荷？
－6
分析 由于导体球一半浸在油中，电荷在导体球上已不再是均匀分布，电场分布不再呈球对称，因此，不能简单地由高斯定理求电场和电荷的分布．我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，静电平衡时导体球上的电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个半球电容并联，其相对无限远处的电势均为V，且
V?Q1Q2 （1） ?C1C2 21
另外导体球上的电荷总量保持不变，应有
Q1?Q2?Q0 （2）
因而可解得Q1 、Q2 ．
解 将导体球看作两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立电容器，上半球在空气中，电容为
C1?2πε0R
下半球在油中，电容为
C2?2πε0εrR
由分析中式（1）和式（2）可解得
C11Q0?Q0?0.5?10?6C
C1?C2εr?1C2εQ2?Q0?rQ0?1.5?10?6C
C1?C2εr?1Q1?由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变．可以证明，此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足E?E0的关εr系．事实上，只有当电介质均匀充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足E?E0 ． εr6 －24 有两块相距为0.50 的薄金属板A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒Ｋ 内，金属盒上、下两壁与A、B 分别相距0.25 mm，金属板面积为30 mm ×40 mm。求（1） 被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，问此时的电容又为原来的几倍？
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分析 薄金属板A、B 与金属盒一起构成三个电容器，其等效电路图如图（ｂ）所示，由于两导体间距离较小，电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可以求得A、B 间的电容。 解 （1） 由等效电路图可知
C2?C3?C1
C2?C3由于电容器可以视作平板电容器，且d1?2d2?2d3，故C2?C3?2C1 ，
C?C23?C1?因此A、B 间的总电容
（2） 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰，相当于C2 （或者C3 ）极板短接，其电容为零，则总电容
C?2C1C?3C1
6 －25 在A 点和B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示．（1） 求A、B
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两点之间的等效电容；（2） 若A、B 之间的电势差为12 V，求UAC 、UCD 和UDB ．
解 （1） 由电容器的串、并联，
6 －26 有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E．
分析 电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有
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U?Q?d?δ??Qδ ε0Sε0εrS相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有
U?Q?d?δ? ε0Sε0S d解 （1） 空气平板电容器的电容
C0?充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为
Q0?ε0SU dE0?U/d
（2） 插入电介质后，电容器的电容C1 为
?Q??d?δ??Qδ??ε0εrS C1?Q/?ε0εrS?δ?εr?d?δ??ε0S故有
Q1?C1U?介质内电场强度
?0?rSU
???r?d?????E1空气中电场强度
Q1U ???ε0εrSδ?εrd?δQ1?rU??0S???r?d???E1?
（3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为
C2?ε0S d?δ 25