ε0SU d?δ??0 导体中电场强度 E2Q2?空气中电场强度
E2?U d?δ无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/εｒ．
6 －27 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为εｒ 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A，B为平板电容器的导体极板，d0 为两极板间的距离．试说明检测原理，并推出直接测量量电容C 与间接测量量厚度d 之间的函数关系．如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？
分析 导体极板A、B 和待测物体构成一有介质的平板电容器，关于电容C与材料的厚度的关系，可参见题6 －26 的分析． 解 由分析可知，该装置的电容为
C?则介质的厚度为
ε0εrS
d?εr?d?δ?d?εrd0C?ε0εrSεεεS?rd0?0r
?εr?1?C?εr?1?Cεr?1如果待测材料是金属导体，其等效电容为
26
C?导体材料的厚度
ε0S
d0?dε0S Cd?d0??实时地测量A、B 间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度．通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度．
6 －28 利用电容传感器测量油料液面高度．其原理如图所示，导体圆管A与储油罐B 相连，圆管的内径为D，管中心同轴插入一根外径为d 的导体棒C，d、D 均远小于管长L 并且相互绝缘．试证明：当导体圆管与导体棒之间接以电压为U 的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为εｒ ）．
分析 由于d、D ＜＜L，导体A、C 构成圆柱形电容器，可视为一个长X（X 为液面高度）的介质电容器C1 和一个长L －X 的空气电容器C2 的并联，它们的电容值均随X 而改变．因此其等效电容C ＝C1 ＋C2 也是X 的函数．由于Q ＝CU，在电压一定时，电荷Q 仅随C 而变化，求出Q 与液面高度X 的函数关系，即可得证
证 由分析知，导体A、C 构成一组柱形电容器，它们的电容分别为
C1?2πε0εrX Dlnd 27
C1?其总电容
2πε0εr?L?X?
DlndC?C1?C2?其中
2πε0εrX2πε0εr?L?X??α?βX
DDlnlnddα?2πε0L2πε0?εr?L?；β? DDlnlnddQ?CU?aU?βUX
即导体管上所带电荷Q 与液面高度X 成正比，油罐与电容器联通．两液面等高，测出电荷Q 即可确定油罐的液面高度．
6 －29 有一电容为0.50 μF 的平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 mm的聚四氟乙烯薄膜所隔开，（1） 求该电容器的额定电压；（2） 求电容器存贮的最大能量．
分析 通过查表可知聚四氟乙烯的击穿电场强度Eb ＝1.9 ×107 V／m，电容器中的电场强度E≤Eb ，由此可以求得电容器的最大电势差和电容器存贮的最大能量．
解 （1） 电容器两极板间的电势差
Umax?Ebd?190V
（2） 电容器存贮的最大能量
12We?CUmax9.03?10?3J
26 －30 半径为0.10 cm 的长直导线，外面套有内半径为1.0 cm 的共轴导体圆筒，导线与圆筒间为空气．略去边缘效应，求：（1） 导线表面最大电荷面密度；（2） 沿轴线单位长度的最大电场能量．
分析 如果设长直导线上单位长度所带电荷为λ，导线表面附近的电场强度
E?λσ?
2πε0Rε06
查表可以得知空气的击穿电场强度Eb ＝3.0 ×10（V／m），只有当空气中
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的电场强度E≤Eb 空气才不会被击穿，由于在导线表面附近电场强度最大，因而可以求出σ的极限值．再求得电场能量密度，并通过同轴圆柱形体元内电场能量的积分求得单位长度的最大电场强度． 解 （1） 导线表面最大电荷面密度
σmax?ε0Eb?2.66?10?5C?m?2
显然导线表面最大电荷面密度与导线半径无关．
（2） 由上述分析得λmax?2πε0R1Eb，此时导线与圆筒之间各点的电场强度为
Em?λR?1?R2?r?R1? 2πε0rr E?0 (其他)
11R12Eb22wm?ε0Em?ε02
22rR2沿轴线单位长度的最大电场能量
Wm????w?2πrdr?ε0πR12Eb2?ΩR11dr rWm?ε0πR12Eb2lnR2?5.76?10?4J?m?1 R16 －31 一空气平板电容器，空气层厚1.5 cm，两极间电压为40 kV，该电容器会被击穿吗？ 现将一厚度为0.30 cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10 ＭV· m ．则此时电容器会被击穿吗？
分析 在未插入玻璃板时，不难求出空气中的电场强度小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿．插入玻璃后，由习题6 －26 可知，若电容器与电源相连，则极板间的电势差维持不变，电容器将会从电源获取电荷．此时空气间隙中的电场强度将会增大．若它大于空气的击穿电场强度，则电容器的空气层将首先被击穿．此时40 kV 电压全部加在玻璃板两侧，玻璃内的电场强度如也大于玻璃击穿电场强度的值，则玻璃也将被击穿．整个电容器被击穿．
解 未插入玻璃时，电容器内的电场强度为
－1
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E?U/d?2.7?106V?m?1
因空气的击穿电场强度Eb?3.0?106V?m?1 ，E?Eb，故电容器不会被
击穿．
插入玻璃后，由习题6 －26 可知，空气间隙中的电场强度
E?εrV?3.2?106V?m?1
εr?d?δ??δ此时，因E?Eb ，空气层被击穿，击穿后40 kV 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度
E?V/δ?1.3?107V?m?1
'由于玻璃的击穿电场强度Eb故玻璃也将相继被?10MV?m?1，E?Eb? ，
击穿，电容器完全被击穿．
6 －32 某介质的相对电容率?r?2.8，击穿电场强度为18?10V?m ，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 μF，而耐压为4.0kV的电容器，它的极板面积至少要多大． 解 介质内电场强度
6?1E?Eb?18?106V?m?1
电容耐压Um ＝4.0 kV，因而电容器极板间最小距离
d?Um/Eb?2.22?10?4m
要制作电容为0.047 μF 的平板电容器，其极板面积
S?Cd?0.42m2 ε0ε1显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装．
6 －33 一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d．求：（1） 电容器能量的改变；（2） 此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系．
分析 在将电容器两极板拉开的过程中，由于导体极板上的电荷保持不变， 极板间的电场强度亦不变，但电场所占有的空间增大，系统总的电场能量增
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