第1讲 等差数列与等比数列
1．(2019·南京模拟)在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则
26
a20
＝________． a10
3
[解析] 法一：设等比数列{an}的公比为q，由a2a6＝16得a1q＝16，所以a1q＝±4．由
a20
a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1．于是＝q10＝1．
a10
??a4＝4，
法二：由等比数列的性质，得a＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8，所以?或
??a8＝4
2
4
???a4＝－4，?a4＝4，a2010242?因为a6＝a4a8>0，所以?则公比q满足q＝1，q＝1，所以＝q＝1．
a10?a8＝12．?a8＝4，??
[答案] 1
2．(2019·宿迁模拟)若等差数列{an}满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是________．
[解析] 由S3＝3a2，得a2＝1，由S5＝5a3，得a3＝2，则a4＝3，S7＝7a4，则a4＋S7＝8a4
＝24．
[答案] 24
2an2
3．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，bn＝
an?n＋1?a＋2n?2?n??(n∈N)，则数列{bn}的通项公式是________．
[解析] 由已知得n＋1＝2?2
n＋1
n*
n＋1nan＋1an1??n＋2?an＋2n??
(n∈N)，
*
21111**
则＝＋n＋(n∈N)，即bn＋1－bn＝n＋(n∈N)，所以b2－b1＝1＋，b3－b2＝2＋，…，an＋1an2222
bn－bn－1＝(n－1)＋，
累加得bn－b1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋又b1＝＝1，所以bn＝
2
1
2
n－1（n－1）nn－1n2－1
2．
＝2
＋
2＝2
，
n2－1
2
a1
＋1＝
n2＋1
2
[答案] bn＝n2＋1
2
4．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝________．
[解析] 因为2(an＋an＋2)＝5an＋1， 所以2an(1＋q)＝5anq，
12
所以2(1＋q)＝5q，解得q＝2或q＝．
2
因为数列为递增数列，且a1>0，所以q>1，所以q＝2． [答案] 2
5．(2019·苏锡常镇四市高三教学调研(一))中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为______．
1
[解析] 由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{an}，易知公比q＝，21?127a1（1－q7）6464?6
则S7＝＝2a1?1－?＝a1＝700，所以a1＝700×，所以a7＝a1q＝700×1－q127127?128?64700?1?700
×??＝，所以这匹马最后一天行走的里程数为．
127?2?127
700
[答案] 127
6．(2019·苏州市第一学期学业质量调研)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若6
2
S51＝，则S103
S5
S20＋S10
＝______．
[解析] 法一：设等比数列{an}的公比为q，若公比q为1，则
S51
＝，与已知条件不符，S102
5
a1（1－qn）S511－q1S55
所以公比q≠1，所以Sn＝，因为＝，所以所以q＝2，所以＝10＝，1－qS1031－q3S20＋S10
1－q1－21
＝＝． 2010421－q＋1－q1－2＋1－218
法二：因为
5
S51
＝，所以不妨设S5＝a，S10＝3a，a≠0，易知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15S103
S5S20＋S10
成等比数列，由S5＝a，S10－S5＝2a，得S15－S10＝4a，S20－S15＝8a，从而S20＝15a，所以＝
a1
＝．
15a＋3a18
1
[答案]
18
7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么an＋bn组成的
数列的第37项的值为________．
[解析] {an}，{bn}都是等差数列，则{an＋bn}为等差数列，首项为a1＋b1＝100，
d＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－100＝0，所以{an＋bn}为常数数列，第37项为100．
[答案] 100
8．(2019·南京市四校第一学期联考)已知各项均为正数的等比列{an}中，a2＝3，a4＝27，
S2n为该数列的前2n项和，Tn为数列{anan＋1}的前n项和，若S2n＝kTn，则实数k的值为______．
[解析] 因为各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝3，a4＝27，所以a1＝1，公比q＝3，1×（1－3）3－1n－1n－1n2n－1所以S2n＝＝，an＝3．令bn＝anan＋1＝3·3＝3，所以b1＝3，数列
1－323×（1－9）3（3－1）3－1
{bn}为等比数列，公比q′＝9，所以Tn＝＝．因为S2n＝kTn，所以
1－9823（3－1）4
＝k·，解得k＝．
83
4[答案]
3
9．(2019·泰州市高三模拟)已知公差为2的等差数列{an}及公比为2的等比数列{bn}满足a1＋b1>0，a2＋b2<0，则a3＋b3的取值范围是________．
??a1＋b1>0
[解析] 法一：由题意可得?，该不等式组在平面直角坐标系
?a1＋2b1<－2?
2n2n2nn2n2na1Ob1中表示的平
面区域如图中阴影部分所示，则当a3＋b3＝a1＋4＋4b1经过点(2，－2)时取得最大值－2，则
a3＋b3<－2．
??a1＋b1>0
法二：由题意可得?，则a3＋b3＝a1＋4＋4b1＝－2(a1＋b1)＋3(a1＋2b1)＋4<－2，
?a＋2b<－211?
故a3＋b3的取值范围是(－∞，－2)．
[答案] (－∞，－2) 10．在数列{an}中，n∈N，若列是对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
*
an＋2－an＋1
＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下
an＋1－an