《信号与系统》第三次作业
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1. 试由s域求系统的系统函数，零状态响应，零输入响应及完全响应。 （1）y??(t)?5y?(t)?4y(t)?2f?(t)?5f(t),t?0
f(t)?e?2tu(t)，y(0?)?2，y?(0?)?5
将式中②两边求导后代入式①，随即求得系统的数学模型为
将式③进行拉氏变换，得
由于在零状态下，故有
则得 Y(s)=H(s)X(s) ⑥
可见，在系统初始不储能的零状态下，系统输出的拉氏变换等于输入的拉氏变换乘以H(s)，即
从式⑤、⑥可见，H(s)取决于系统的构成和有关参数（系数），而与输入信号无关，它反映
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了输入信号通过系统以后所产生的变化，如系统的输入 x(t)=u(t) ，是有
（2）y??(t)?3y?(t)?2y(t)?4f?(t)?3f(t),t?0
f(t)?e?2tu(t)，y(0?)?3，y?(0?)?2
当系统的输入是单位冲激信号，即Y(s)=H(s),
y(t)=h(t)
，则从式⑥求得
上式表明系统在单位冲激激励下，其输出就等于系统的单位冲激响应h(t) ，如图所示，它恰好等于系统函数的拉氏反变换。所以系统函数又可定义为单位冲激响应的拉氏变换，即
一旦测得系统的冲激响应，随即求得系统函数。同理，己知系统函数，随即求得相应的冲激响应。
系统函数H(S)在S域表征连续系统的传输特性，而单位冲激响应h(t)是在时域描述连续系统的时间特性，因此它是时域分析最基本和最重要的特性参数。
2. 求离散时间LTI系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。
1?1?（1）y[k]?y[k?1]?f[k]，f[k]???u[k]，y[?1]?1
3?3?通过以上分析，若己知一个连续系统在
作用下的零状态响应h(t)，则利用系统的叠
k加性和非时变性，不难求得在任一信号作用下系统的零状态响应，从第三章式（3.1）得知， 一
个非周期信号可以分解为一系列冲激信号的线性组合。
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按非时变性质，系统在
的响应应为
励信号x(t)的零状态响应为
作用下零状态响应为，故对
。利用线性系统叠加性质，求得系统对激
上式说明，LTI系统的零状态响应 等于激励信号x(t) 与系统单位冲激响应h(t) 的卷积积分，简称卷积如图所示。该式反映了系统输入与输出之间的关系，所以也是LTI系统的一种数学模型。在积分式中 是积分变量，t是参变量，所以卷积结构是t的函数。当信号有不连续点或为有限长时限信号时，定义式①的积分上下限要发生变化。如果信号 x(t) 在t=0 时接入，在t<0时等于零，则式①中的积分下限取零。此外，对于物理可实现的因果系统，由于t＜0时h（t）=0，所以在限应改写为t，即
即
时，式①中的
，于是该式中的积分上
（a）s域表示 （b）时域表示
LTI系统的方块图
利用卷积法求系统的零状态响应，无论对系统的分析还是综合都要重要意义。因为在实际中对系统设计，初始状态均为零，不存在零输入响应，即使对系统分析，通过4.3节讨论将会知道，零输入响应也可以转化为零状态响应来求解。
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