数学:2..2..1《综合法和分析法》教案(新人教A版选修2-2)

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数学:2.2.1《综合法和分析法》教案

教学目标:

<一)知识与技能:

结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合

法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 <二)过程与方法:

培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力; <三)情感、态度与价值观:

通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。 第一课时 2.2.1 综合法和分析法<一)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG 教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程.

教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 教学过程:

一、复习准备: 1. 已知 “若,且,则”,试请此结论推广猜想. <答案:若,且,则 ) 2. 已知,,求证:.

先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点? 二、讲授新课: 1. 教学例题:

① 出示例1:已知a, b, c是不全相等的正数,求证:a(b2 + c2> + b(c2 + a2> + c(a2 + b2> > 6abc.tFAx82mkCG 分析:运用什么知识来解决?<基本不等式) → 板演证明过程<注意等号的处理)

→ 讨论:证明形式的特点

② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.tFAx82mkCG 框图表示:导果.

③ 练习:已知a,b,c是全不相等的正实数,求证

.

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要点:顺推证法;由因

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④ 出示例2:在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列. 求证:为△ABC等边三角形.tFAx82mkCG 分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系?

→ 板演证明过程 → 讨论:证明过程的特点.

→ 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件<内角和) 2. 练习:

① 为锐角,且,求证:. <提示:算) ② 已知 求证:

3. 小结:综合法是从已知的P出发,得到一系列的结论,直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG 三、巩固练习:

1. 求证:对于任意角θ,. <教材P100 练习 1题)

<两人板演 → 订正 → 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程) 2. 的三个内角成等差数列,求证:. 3. 作业:教材P102 A组 2、3题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法<二)

教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.tFAx82mkCG 教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程. 教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 教学过程:

一、复习准备:

1. 提问:基本不等式的形式? 2. 讨论:如何证明基本不等式.

<讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件) 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例1:求证.

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讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件?

→ 板演证明过程 <注意格式)

→ 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法

② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件<已知条件、定理、定义、公理等)为止.tFAx82mkCG 框图表示:索因.

③ 练习:设x > 0,y > 0,证明不等式:. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.

④ 出示例2:见教材P97. 讨论:如何寻找证明思路?<从结论出发,逐步反推)

⑤ 出示例3:见教材P99. 讨论:如何寻找证明思路?<从结论与已知出发,逐步探求)

2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面<指横截面)的周长相等,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.tFAx82mkCG 提示:设截面周长为l,则周长为l的圆的半径为,截面积为

,周长为l的正方形边长为,截面积为,问题只需证:> .tFAx82mkCG 3. 小结:分析法由要证明的结论Q思考,一步步探求得到Q所需要的已知,直到所有的已知P都成立;

比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析>,从“已知”推“可知”<综合),双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. <框图示意)tFAx82mkCG 三、巩固练习:

1. 设a, b, c是的△ABC三边,S是三角形的面积,求证:

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略证:正弦、余弦定理代入得:, 即证:,即:,即证:<成立).

2. 作业:教材P100 练习 2、3题.

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要点:逆推证法;执果

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