习题6?3
1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?
解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?
0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?
PV?k?10?(?102?80)?80000??
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则
P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?
80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是
W?mgRh? R?h其中g是地面上的重力加速度? R是地球的半径?
(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功？已知g?9?8m/s2? 地球半径R?6370km?
证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m的物体升高的功元素为
dy? dW?kMmy2所求的功为 W??R?hRkMmdy?k?mMh? y2R(R?h)?11243173?5.98?10?630?105 (2)W?6.67?10?(kJ)? ?9.75?106370?103(6370?630)?103 4? 一物体按规律x?ct3作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方成正比? 计算物体由x?0移至x?a时? 克服媒质阻力所作的功? 解 因为x?ct3? 所以
2x v?x?(t)?3cx? 阻力f??kv??9kct? 而t?()3? 所以 c2224424x f(x)??9kc()3??9kc3x3? c2 功元素dW??f(x)dx? 所求之功为
W??[?f(x)]dx??9kcxdx?9kc00aa23432a30?2727xdx?kc3a3? 743 5? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板1cm? 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少？
解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm? 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比? 即f?kx? 功元素dW?f dx?kxdx? 击第一次作功为
W1??kxdx?1k?
021击第二次作功为
W2??kxdx?1k(h2?2h)? 121?h 因为W1?W2? 所以有 1k?1k(h2?2h)? 22解得h?2?1(cm)?
6? 设一锥形贮水池? 深15m? 口径20m? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功？
解 在水深x处? 水平截面半径为r?10?2x? 功元素为
3 dW?x??r2dx??x(10?2x)2dx?
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