(a) Sam雨天时最优的消费量是多少单位？ (b) Sam购买多少张雨天票最优？
12.4 Sidewalk Sam的哥哥Morgan von Neumanstern是一个期望效用最大化者。他关于财富的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数是u(c)=lnc。Sam的哥哥在大西洋城的另一个海滩边卖太阳镜。他每天挣的钱与Sam的一样多。他可以像Sam那样在娱乐城里玩赌博游戏。
(a) 如果Morgan认为每天天晴和下雨的概率都是50%，则他消费(cs, cr)时的期望效用是多少？
(b) Morgan的效用函数与Sam的效用函数相比如何？其中一个效用函数是另一个的单调变换吗？
(c) Morgan最优的消费组合是什么？答案：Morgan将在晴天消
费 ，在雨天消费 。这一消费组合与Sam的相比如何？
12.5 得克萨斯州Mule Shoe的Billy John Pigskin的冯·诺伊曼一摩根斯坦效用函数是u(c)?c。Billy John大约重300磅，他跑得比长耳兔和送比萨的车还快。Billy John将在大学橄榄球队里开始四年级的生活。如果他不受重伤，他打职业橄榄球的收入将是1000000美元。如果他因受伤而结束橄榄球生涯，他将会在家乡当一名垃圾清扫工，收入是10000美元。Billy John受重伤而不得不结束橄榄球生涯的概率是10%。
(a) Billy John的期望效用是多少？ (b) Billy John购买了p美元的保险，如果他在大学期间受重伤而结束橄榄球生涯，他将得到1000000美元的保险支付。这样无论出现什么情况，他都肯定有1000000-p美元的收入。通过解方程可以求出Billy John愿意为这样的一份保险支付的最高价格。写出该方程。
(c) 解该方程求出p。
12.6 一张彩票的确定性等价是指你确定性地拥有的一笔钱，这笔钱使得你的状况与拥有这张彩票时的状况一样好。假设有一张彩票是事件1发生时你得到x，事件1不发生时得到y。你在这张彩票上的冯·诺伊曼-摩根斯坦效用函数是其中π是事件1发生的概率，1-π是事件1不发生U(x,y,?)??x?(1??)y，的概率。
(a) 如果π=0.5，计算如下彩票的效用，该彩票是如果事件1发生你得到
10000美元，反之得到100美元。
(b) 如果你能确定性地得到4900美元，你的效用是多少？ （提示：如果你能确定性地得到4900美元，那么你在两种情况下都得4900美元。）
(c) 给定这一效用函数以及π=0.5，写出如下彩票的定确性等价的一般表达(d) 如果事件1发生时你得到10000美元，事件1不发生时得到100美元，计算此时的确定性等价。
12.7 Dan Partridge是一个风险回避者，他希望最大化自己的期望效用c，其中c是他的财富。Dan有50000美元的安全资产，他还有一套房子，这套房子所在的地方经常发生森林火灾。如果房子烧毁了，则房子的残余部分以及盖房子的那块地就只值40000美元，从而Dan的总财富就是90000美元。如果房子没有烧毁，其价值是200000美元，从而Dan的总财富就是250000美元。房子被烧毁的概率是0.01。
(a) 如果他没有购买火为险，计算他的期望效用。
(b) 如果他没有购买火灾险，计算他所面临的彩票的确定性等价。 (c) 假设他可以购买保险，每100美元保险的价格是1美元。例如，如果他购买价值100000美元的保险，那么无论发生什么情况，他都必须支付给保险公司1000美元。但是如果他的房子烧毁了，他可以从保险公司那里得到100000美元。如果Dan购买价值160000美元的保险，他将得到完全的保险，意思是说，无论发生什么情况，他的税后财富都是 。
(d) 因此，如果购买完全的保险，他的财富的确定性等价是 ，他的期望效用
是 。
第十三章 风险资产
13.1 Fenner Smith正在考虑在两种资产之间分配其财富。其中风险资产的期望收益率是30%，标准差是10%；而安全资产的期望收益率是10%，标准差是0%。
(a) 如果Smith先生将其财富的x%投资在风险资产上，则其期望收益是多少？
(b) 如果Smith先生将其财富的x%投资在风险资产上，则其财富的标准差是
式，该彩票是事件1发生时你得到x，事件1不发生时得到y。
多少？
(c) 解以上两个方程，求出作为标准差的函数的Smith先生财富的期望收益。
(d)在下图中画出这条“预算线”。
(e) 如果Smith先生的效用函数是u(rx,?x)?min{rx,30?2?x}，则Smith先生最优的rx的值是 ，最优的σx的值是 。
（提示：你必须解关于两上未知变量的两个方程。其中的一个方程是预算约束方程。）
(f) 标出Smith先生的最优选择点，并画出一条通过该点的无差异曲线。 (g) Smith先生将在风险资产上投资多大份额的财富？
13.2 牧场主Alf Alpha有一个位于沙山上的牧场。牧场带给他的收益是一个依赖于降雨量的随机变量，多雨的年份收益高，干旱的年份收益低。该牧场的市场价值是5000美元，期望收益是500美元，标准差是100美元。降雨量每超过平均降雨量一英雨，利润就增加100美元；相反，每低于平均降雨量一英寸，利润就减少100美元。牧场主Alf另外还有5000美元准备投资在第二个牧场上。他可以选择购买的牧场有两个。
(a) 其中的一个牧场位于一个不会发洪水的低地上。无论天气如何，该牧场每年的期望收益是500美元。如果Alf Alpha购买的第二个牧场是该牧场，则其总投资的期望收益率是多少？ 此时其收益率的标准差是多少？
(b) 他可以购买的另外一个牧场紧挨着一条河。这使得该牧场在干旱年份的收益很好，但是在多雨的年份里，这条河会发洪水。这个牧场的价值也是5000美元。该牧场的期望收益是500美元，标准差是100美元。降雨量每低于平均降雨量一英寸，利润就增加100美元；相反，每高于平均降雨量一英寸，利润就减少100美元。如果Alf购买的是这个牧场，并且仍然拥有他在沙山上的牧场，则他在其总投资上的期望收益率是多少？ 此时其总投资收益率的准差是多少？
(c) 如果Alf是一个风险回避者，那么他会选择哪一个牧场？为什么？
第十四章 消费者剩余
14.1 Quasimodo消费耳塞和其他商品。他对耳塞x和其他商品上所花的钱y的效用函数由u(x,y)=100x-x2/2+y给出。
(a) Quasimodo的效用函数是哪一种类型的？ (b) 他对耳塞的反需求曲线是什么？
(c) 如果耳塞的价格是50美元，则他会消费多少单位的耳塞？
(d) 如果耳塞的价格是80美元，他会消费多少单位的耳塞呢？
(e) 假设Quasimodo每月总共有4000美元可以花。如果耳塞的价格是50美
元，那么他消费耳塞和其他商品的总效用是多少？
(f) 如果耳塞的价格是80美元，那么他消费耳塞和其他商品的总效用是多少？
(g) 当价格从50美元增加到80美元时，效用减少了 。
(h) 当价格从50美元增加到80美元时，消费者净剩余的变化量是多少？
14.2 你可以在下图中看到Sarah Gamp在黄瓜和其他商品之间的无差异曲线的图形。假设黄瓜和“其他商品”的参考价格都是1。
(a) 为购买一个与A点无差异的消费束，Sarah最少必须有多少钱？ (b) 为购买一个与B点无差异的消费束，Sarah了少必须有多少钱？ (c) 假设黄瓜的参考价格是2，其他商品的参考价格是1。为购买一个与A点无差异的消费束，她需要多少钱？
(d) 在新价格下，为购买一个与B点无差异的消费束，Sarah最少必须有多少钱？
(e) 无论Sarah面临的价格是多少，她购买一个与A点无差异的消费束所需的钱一定比购买一个与B点无差异的消费束所需的钱（更多，更少） 。
14.3 Ulrich喜欠计算机游戏和香肠。事实上，他的偏好可以由式u(x,y)=ln(x+1)+y表示，其中x是他玩的游戏的数量，y是他花在香肠上的美元数。令px表示计算机游戏的价格，m是他的收入。
(a) 写出能表示Ulrich的边际替代率等于价格比的表达式。（提示：还记得第6章中的Donald Fribble吗？）
(b) 因为Ulrich的偏好是 形式的，所以只要通过解该方程就可以求出他对计算机游戏的需求函数，也就是 。他对花费在香肠上的美元数的需求函数是 。
(c) 计算机游戏的价格是0.25美元，Ulrich的收入是10美元。则Ulrich需求
单位的计算机游戏和价值 美元的香肠。他从这一消费束中得到的效用是