且，
欧式看跌期权价格为
13.6 什么是隐含波动率？如何计算？
隐含波动率是使得期权的布莱克-斯科尔斯价格等于市场价格的波动率。可用叠代方法计算得到。
13.7 股票的当前价格为40美元，假定收益率期望为15%，波动率为25%。在两年内的股票收益率（连续复利）的概率分布是什么？
这时，μ=0.15，σ=0.25。由式（13.7）得两年内的股票收益率（连续复利）的概率分布是
即
每年的期望收益为11.875% ，标准差是17.68%。
13.13 计算以下无股息股票上欧式看涨期权的价格，其中股票价格为52美元，执行价格为50美元，无风险利率为年率12%，波动率为年30%，期限为3个月。
这时，
，
欧式看涨期权的价格为
13.14计算以下无股息股票上欧式看跌期权的价格，其中股票价格为69美元，执行价格为70美元，无风险利率为年率5%，波动率为年35%，期限为6个月。 这时，
，
欧式看跌期权的价格为
13.15 考虑关于一个股票上的美式看涨期权，股票价格为70美元，执行价格为65美元，无风险利率为年率10%，波动率为年32%，期限为8个月。在3个月及6个月时预计各有1美元的股息。证明在两个除息日行使期权永远不会是最佳选择。采用的DerivaGem来计算期权价格。 沿用13.12节的符号
，
。
因为
，且
因此永远没有最优点提前执行看涨期权。 DerivaGem计算期权价值为10.94。
13.16 一个无息股票上看涨期权的市场价格为2.5美元，股票价格为15美元，执行价格为13美元，期限为3个月，无风险利率为年率5%，银汉的波动率为多少？
17
第14章 希腊值练习题及参考答案（原书第17章）
17.2 一个看涨期权Delta为0.7的含义是什么?当每个期权的Delta均为0.7时，如何使得1000份期权的短头寸组合变为Delta中性?
一个看涨期权的Delta为0.7意味着当股票价格增加微小数量，期权价格增加这个数量的70%。类似地，当股票价格减少微小数量，期权价格减少这个数量的70%。1000份期权的短头寸的Delta为-700，购买700股股票使其组合变为Delta中性。
17.3 当无风险利率为每年10%，股票波动率位25%时，计算这一无股息股票的平值欧式期权的Delta，其中期权的期限为6个月。
这种情形下，S0=K，r=0.1，σ=0.25，T=0.5。而且，
期权的Delta是N(d1)=0.64。
17.4 保证期权的Delta值为零是什么含义？如果交易员感觉股票价格与波动率均不会改变，什么样的期权头寸比较合适？ Delta为零时，theta为-0.1时，若股票价格或波动率没有变化，δ*t年后期权价值降低
0.1δ*t。若交易员感觉股票价格和隐含波动率都不会变化，他或她将签一个theta尽可能高的期权。相应地，短期平值期权具有最大的theta值。
17.5 期权头寸的Gamma是什么含义？某个头寸的Delta为0，而Gamma为一个很大的负值，该头寸的风险是什么？
期权头寸的Gamma是头寸的Delta 关于资产价格的变化率。如，0.1的Gamma 表明当资产价格增加一小数值，Delta将增加这一数值的0.1倍。当期权头寸的Gamma 值大而且为负，同时Delta为0,若资产价格有大的变化（不管是增加还是减少），该期权头寸持有者会损失惨重。
17.6“构造一个合成期权的过程，就是对冲这一期权头寸的反过程。”解释这句话的含义。
对冲一个期权头寸，必须创建合成这个期权头寸的反过程。例如，对冲一个看跌多头头寸，得创建合成这个看跌期权的短头寸。也就是说，创建一个合成期权头寸的过程是对冲期权头寸的逆过程。
17.7解释为什么证券组合保险策略在1987年10月19日的股票市场大跌中效果不好。
证券组合保险涉及创建合成看跌期权。它假设一旦证券组合价值下跌一微小值，组合管理者的头寸通过如下方式再平衡：(a)卖出部分组合；(b)卖出指数期货。1987年10月19日，市场暴跌太快，以至于证券组合保险中预期的再平衡种类来不及操作完成。
17.8一个执行价格为0美元的虚值看涨期权的布莱克-斯科尔斯价格为4美元，一个卖出期权的交易员想采用止损交易策略。交易员想在股票价格为40.10美元时买入股票，而在39.90美元时卖出股票，估计股票被买入与卖出的次数。
这个策略每次买入卖出花费交易员0.20美元。该策略总的期望成本是4美元。也就是说股票买和卖的次数约20次。买的期望次数约20次；卖的期望次数约20次。买卖交易可在期权生命期内任何时刻发生。因为需要折现，上面的数字仅仅是个近似值。当然这里假设为风险中性。
17.9假定某股票的当前价格为20美元，一个执行价格25美元的看涨期权是由频繁交易标的股票头寸而成。考虑以下两种情形： (a)股票价格在期权期限内逐渐地由20美元涨至35美元。 (b)股票价格剧烈波动，最后的价格35美元。 在哪种情景会使得合成期权更为昂贵？解释你的答案。
在任何时刻持有股票为N(d1)。因此，须在股票价格上涨后立即买入股票，在价格下跌后立即卖出股票。（即文中的买高卖低策略。）第一种情况下，持续买入股票。第二种情况下，买入、卖出；再买入卖出，如此等等。两种情形下最后持有量相同。显然，买入卖出，再买入卖出股票的情形比持续买入股票的成本高。这个问题强调创建合成期权的不利一面。买入期权的成本是预先知道的，它取决于预期波动率；而合成期权的成本是未知的，它取决于市场中的实际波动率。
17.12一家公司准备对一货币上看跌和看涨期权的证券组合长头寸来进行 得了他对冲。以下哪种情况对冲的效果最好？ (a)一个基本稳定的即期汇率。 (b)一个剧烈波动的即期汇率。 解释你的答案。
不论是看涨期权还是看跌期权的多头头寸都有一个正的Gamma值。书中图17.8，当Gamma为正，对冲者从股票价格大的变化中获利，而股票价格变化小则遭受损失。因此，对冲者乐意看到情形(b)。
17.13重复练习题17.12 中的分析，这里是一家持有外汇看涨期权和外汇看跌期权短头寸的金融机构。
看涨期权或者看跌期权的短头寸都有一个负的Gamma值。书中图17.8，当Gamma为负，对冲者从股票价格小的变化中获利，而股票价格变化大则遭受损失。因此，对冲者乐意看到情形(a)。