2020年安徽省马鞍山市高三第三次教学质量监测
理科数学试题
本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡条形码粘贴处．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A?{0,1,2}，B?{x|x?3?2a,a?A}，则AIB?（ ）
A．{0,1,2} B．{1,2} C． {1} D．? 【答案】C
【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．
2．已知i为虚数单位，复数z?(1?i)(1?ai)的虚部为4，则实数a?（ ） A．1 B．2 开始C．3 D．4
输入m,n【答案】C
【命题意图】本题考查复数基本运算，难度：简单题．
2?否3．设命题p:?x??1,x?1 ，则p为（ ） m?n?A． ?x??1，x2?1 B．?x??1，x2?1 是22输出mC． ?x剟?1，x1 D．?x??1，x?1 k?m?nm?k【答案】D
结束n?k?【命题意图】本题考查命题相关知识，难度：简单题．
否是4．如图所示的程序框图，若输入m?49，n?14，则输出的结果是m?n（ ）
A．3 B．7
n?k第4题图 C．13 D．26 【答案】B
【命题意图】本题考查程序框图基本知识，难度：简单题．
1?5．将函数f?x??2cos(x?)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y?g?x?的
26图象，则函数y?g?x?的图象的一个对称中心是（ ）
?10?5?4?0) 0) ,0) A．(， B．(， C．(,0) D．(6333【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数图象与性质，难度：简单题．
6．三棱锥S?ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，SA?SB?SC?13，AB的中点为D，则异面直线SD与BC所成角的余弦值为（ ）
1133A． B．? C． D．?
3333【答案】A
【命题意图】本题考查异面直线所成角，难度：中等题．
x15}中任取2个不同的元素，7．从集合U?{x?Z|1剟事件A?“取到的2个数之和为偶数”，事件B?“取
到的2个数均为偶数”，则P(B|A)?（ ）
7131A． B． C． D．
21557【答案】B
【命题意图】本题考查古典概率与条件概率，难度：中等题． 8．已知sin??2cos??3，则tan??（ ）
22A. ? B. ?2 C. ?2 D. ?
22【答案】D
【命题意图】本题考查三角函数求值计算，难度：中等题．
29．已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(4?x)?2x?5x，则曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是（ ） A．y??x B．y?x?4 C．y?3x?8 D．y?5x?12 【答案】A
【命题意图】本题考查函数与导数，难度：中等题.
10．已知抛物线C:y2?43x的准线为l，过C的焦点F的直线交l于点A，与抛物线C的一个交点为B，若F为线段AB的中点，BH?AB交l于H，则△BHF的面积为（ ） A．123 B．163 C．243 D．323 【答案】B
【命题意图】本题考查抛物线的基本知识，难度：中等题．
x?111．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x，则对任意实数t，函数g(x)?f(x)?te的零点个数最多为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B
【命题意图】本题考查函数性质和数形结合思想综合运用，难度：较难题． 12．如图是一种花瓶的直观图，其侧面可以看成由线段AB绕轴旋转一周得到．已轴B径）知侧面与轴所在平面的交线是双曲线的一部分，若花瓶的口径（直为25dm，
底部直径为22dm，最细部分直径为2dm，高为3dm，则双曲线的离心率为（ ）
5A．2 B．
2C．22 D．5 【答案】A
【命题意图】本题考查双曲线的离心率计算，难度：较难题．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体此几何体的体积为_________． 【答案】64?4?
【命题意图】本题考查三视图基本知识，难度：简单题．
514．在(1?x)(2x?1)的展开式中，x3项的系数为_________． 【答案】10
【命题意图】本题考查二项式定理，难度：简单题．
|x||y|15．设x，y满足约束条件，若目标函数??1（k?0）
k4A第12题图 的三视图，则
第13题图
z?2x?y的最
小值为?6，则k 的值为_________． 【答案】3
【命题意图】本题考查线性规划相关知识，难度：中等题．
uuuruuuruuuruuuruuur16．在△ABC中，BD?2DC，|BC|?35，AB?AD?15，则△ABC面积的最大值为_________．
【答案】15
【命题意图】本题考查平面向量和解三角形相关知识，难度：较难题．提示：设BD的中点为M，则uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuur2uuurAM?MB?AB,AM?MD?AD，从而AB?AD?AM?MB?|AM|?25为定值.而底边BC上的高h?|AM|.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
已知数列{an}是递减等比数列，a2?4，且a2,2a3,a4?3成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式；
116（2）若bn?log2()，求数列{bn}的前n项和为Sn．
anan【命题意图】本题考查数列有关知识，难度：简单题．
2解：（1）设数列{an}的公比为q，由a2,2a3,a4?3成等差数列得4a3=a2+a4?3，又a2?4，所以16q=4+4q?3，
2即4q?16q?7?0，解得q?17或q?（舍去）， 22111222116n?4（2）bn?log2()?n?2， ………………………………………………7分
anan故an=a2?qn?2?4?()n?2?()n?4 ．即数列{an}的通项公式为an=()n?4．………………6分
111Sn?1??2??3??L?n?2n?4，
842112Sn? 1??2??3?1?L?(n?1)?2n?4?n?2n?3，
42111两式相减得?Sn????L?2n?4?n?2n?3
8421n?4?2?21．……12分 所以，S??(1+1+1+L+2n?4)?n?2n?3??8n?3n?3?n?2?(n?1)?2?n8421?28 18．（12分）
AB//EF,?AEF为直角，如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为矩形，面ABFE为直角梯形，二面角D?AB?EDC为直二面角，AB?2AD?2AE?2EF?4．
（1）证明：平面DAF?平面CBF；
（2）求直线DE与面ACF所成角的正弦值．
【命题意图】本题考查空间线面关系的证明和线面角的计
AB算，对空间想象能力和运算能力都有一定要求，难度：中等题． 解：（1）∵二面角D?AB?E为直二面角且ABCD为矩形，
E∴AD?面ABFE，∴AD?BF． F第18题图 又在直角梯形ABFE中易证AF?BF，
∴BF?面DAF，
∵BF?面CBF，∴面DAF?面CBF． …………………………………………5分 （2）由（1）易知AE，AB，AD两两垂直，
所以建立空间直角坐标系如图所示． …………………………………………6分 则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(0,4,2)，E(2,0,0)，D(0,0,2)， zCDAByuuuruuuruuurED?(?2,0,2)，AF?(2,2,0)，AC?(0,4,2)．…………8分
r设面ACF的法向量为n?(x,y,z)，
ruuur?n?AF?0?2x?2y?0?由?ruuu得?， r4y?2z?0??n?AC?0?ry??1令得n?(1,?1,2)． ………………………10分
设直线DE与面ACF所成角大小为?，
uuurruuurr|ED?n|23?rr?则sin??|cos?ED,n?|?uuu． …………………………………12分 6|ED||?n|22?6
19．（12分） 某市为调查甲、乙两校学生对分层教学模式的满意度，用简单随机抽样，从这两校中分别抽取30名学生，根据他们对分层教学模式的满意度评分（百分制），绘制茎叶图如下： 甲学校 乙学校 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 6 0 0 0 1 1 2 2 3 3 0 0 7 5 8 6 6 2 2 1 1 8 0 0 2 2 2 3 3 6 6 0 0 9 9 7 5 4 4 2 1 1 5 5 8 2 0 0 （1）估计甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数； （2）设甲、乙两校学生对分层教学模式的满意度评分的平均值分别为x1,x2，估计x1?x2的值； （3）根据学生满意度评分，将学生的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 满意度等级 低于60分 不满意 60分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件A：“甲学校学生的满意度等级高于乙学校学生的满意度等级”．假设两学校学生的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A的概率．
【命题意图】本题以茎叶图为载体考查统计概率的基本知识，考查用样本估计总体的思想以及数据分析处理能力，难度：中等题． 解：（1）样本数据中，甲学校的满意度评分处于最中间的两个数是70、70，所以样本数据的中位数是70，由此估计甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数是70.…3分 （2）设甲、乙两校样本平均数分别为x1?,x2?，根据样本茎叶图可知， 30(x1??x2?)?30x1??30x2??(7?5)?(55?8?14)?(24?12?65)?(26?24?79)?(22?20)?92 =2?49?53?77?2?92?15.因此x1??x2??0.5， 故x1?x2的估计值为0.5. ………………7分
（3）根据茎叶图所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，得到甲、乙两学校对应满意度等级的概率如下表：
满意度评分 低于60分 60分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 2311 甲 30156215 乙 3015623212151所以P(A)???????. ………………12分
30151515156620．（12分）
x2y2y2已知以椭圆C1:x??1和C2:2??1(a?2)的焦点为顶点的四边形的面积为12．
4a4（1）求椭圆C2的方程；
（2）直线l与椭圆C1相切，与椭圆C2交于A,B两点，求AB的最大值．
2【命题意图】本题考查椭圆相关知识的综合运用，难度：中等题．
x2y2解：（1）椭圆C2的方程为??1． ………………4分
1642y2（2）易知，直线l的斜率不为0，所以可设l:x?my?n，与x??1联立得：
4222(4m?1)y?8mny?4n?4?0，由??0得n2?4m2?1．
x2y2222??1联立得(m?4)y?2mny?n?16?0， 1642mnn2?16设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2??2，y1y2?2， ………………6分
m?4m?4将l:x?my?n与
则AB=1?m?41?m22(y1?y2)?4y1y2?1?m222mn2n2?16 ………………8分 (?2)?4?2m?4m?44m2?n2?161?m21?m2?415?415
(m2?4)2(m2?4)2(m2?1)2+6(m2?1)+9?4151(m2?1)+9+6m?12?41512(m2?1)?25． 9+6m2?1（当且仅当m??2时，等号成立） ………………………………11分 所以，AB的最大值为25． ………………………………12分 21．（12分） 已知函数f(x)?(x2?x)lnx?x2?(a?1)x?1，a?R. （1）试讨论函数f(x)极值点个数；
??）（2）当?2?a?ln2?2时，函数f(x)在?1，上最小值记为g(a)，求g(a)的取值范围.
1214【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，难度：难题． 解：（1）∵f?(x)?（x?1)lnx?2?a， ………………………………1分 111记h(x)?(x?1)lnx?2，则h?(x)?lnx?1?，h??(x)??2?0(x?0时)
xxx∴h?(x)在上递增且h?(1)?0. （0，??）∴当0?x?1时，h?(x)?0，当x?1时，h?(x)?0. ∴h(x)在上递减，在上递增， （0,1）（，1??）又x?0时，h(x)???，x???时，h(x)???，h(x)min?h(1)??2， …………4分 ?当a??2时，f?(x)?0，f(x)在定义域上递增，?无极值点，
当a??2时，y?f?(x)有两变号零点，?有两极值点. …………………………6分
???上递增， （2）由（1）知，f?(x)在?1，又∵f?(1)??2?a?0，f?(2)?ln2?2?a?0.
?存在唯一实数t?(1,2)使f?(t)?0，?a?(t?1)lnt?2， …………………………8分
（1，t?上递减，在?t,???上递增， ?f(x)在
11?f(x)min?g(a)?(t2?t)lnt?t2?(a?1)t?1
24