热力学与统计物理课后习题答案第一章

试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。 解:已知理想气体的物态方程为

(1)

由此易得

(2) (3)

(4)

证明任何一种具有两个独立参量的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数,根据下述积分求得:

如果,试求物态方程。

解:以为自变量,物质的物态方程为

其全微分为

(1)

全式除以,有

根据体胀系数和等温压缩系数的定义,可将上式改写为

(2)

上式是以为自变量的完整微分,沿一任意的积分路线积分,有

(3)

若,式(3)可表为

(4)

选择图示的积分路线,从积分到,再积分到(),相应地体

积由最终变到,有

(常量),

(5)

式(5)就是由所给求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。

在和1下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量,今使铜块加热至。问:

(a)压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变?(b)若压强增加100,铜块的体积改变多少?

解:(a)根据题式(2),有

(1)

上式给出,在邻近的两个平衡态,系统的体积差,温度差和压强差之间的关系。如果系统的体积不变,与的关系为

(2)

在和可以看作常量的情形下,将式(2)积分可得

(3)

将式(2)积分得到式(3)首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态和终态的压强差和温度差满足式(3)。 但是应当强调,只要初态和终态是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足式(3)。 这

是因为,平衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可以存在温差等等,但是只要铜块的初态和终态是平衡态,两态的压强和温度差就满足式(3)。

将所给数据代入,可得

因此,将铜块由加热到,要使铜块体积保持不变,压强要增强

(b)题式(4)可改写为

(4)

将所给数据代入,有

因此,将铜块由加热至,压强由增加,铜块体积将增加原体积的倍。

简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数数值都很小,在一定温度范围内可以把和看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为

解: 以为状态参量,物质的物态方程为

根据习题式(2),有

(1)

将上式沿习题图所示的路线求线积分,在和可以看作常量的情形下,有

(2)

(3)

考虑到和的数值很小,将指数函数展开,准确到和的线性项,有

(4)

如果取,即有

(5)

描述金属丝的几何参量是长度,力学参量是张力J,物态方程是

实验通常在1下进行,其体积变化可以忽略。

线胀系数定义为

等温杨氏模量定义为

其中是金属丝的截面积,一般来说,和是T的函数,对J仅有微弱的依赖关系,如果温度变化范围不大,可以看作常量,假设金属丝两端固定。试证明,当温度由降至时,其张力的增加为

解:由物态方程

(1)

知偏导数间存在以下关系:

(2)

所以,有

(3)

积分得

(4)

与题类似,上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程,只要金属丝的初态是平衡态,两态的张力差

就满足式(4),与经历的过程无关。

一理想弹性线的物态方程为

其中是长度,是张力J为零时的L值,它只是温度T的函数,b是常量. 试证明:

(a)等温扬氏模量为

在张力为零时,其中A是弹性线的截面面积。

(b)线胀系数为

其中

(c)上述物态方程适用于橡皮带,设 ,试计算当分别为和时的值,并画出对的曲线.

解:(a)根据题设,理想弹性物质的物态方程为

由此可得等温杨氏模量为

张力为零时,

(b)线胀系数的定义为

由链式关系知

所以

1)

2)

3)

(((

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