Matlab模型
Mathlab是一门高级语言，风格有点象C语言，但语法更简单，易学易用，由于自带很多科学计算工具箱，比较适合科学计算。（下载网址：www.mathworks.com）
1.假定某种生命蛋白质是由四种氨基酸组合而成的。这四种氨基酸的分子量分别为：57，71，97，101。实验测定蛋白质的分子量为800。试问这种蛋白质的组成有哪几种可能？ 〔讲评〕
生：这是一个不定方程问题：800=57×x1+71×x2+97×x3+101×x4 x1,x2,x3,x4为整数。
师：我们可以用枚举的方法求出所有可能的x1,x2,x3,x4，x1可能的取值为0到15，x2可能的取值为0到11，x3可能的取值为0到8，x4可能的取值为0到7。
(参考：m1.m）
2.当推销员从I城出发,经过每个城市一次且仅一次,最后回到I城,问按怎样的路线走,使总的行程路线最短.四个城市间的距离如下表: I II III IV I 0 8 5 6 II 6 0 8 5 III 7 9 0 5 IV 9 7 8 0 〔讲评〕 师：该问题可以用枚举法吗？
生：可以，从I出发有3种选择，第二步只有2种选择，最后一步回I城。 师：如何表示每一步的路长呢？
生：设计一个4×4路长矩阵a, a(i,j)表示城i到城j的路长。
(参考：m2.m） 3.某人从高为2000米载人热气球（此时气球静止）跳伞，重力加速度为g=10米/秒2，下落过程中，若打开降落伞，则空气阻力与速度的平方成正比：f=0.0001mgv2(m为人伞的质量和)，若一开始就打开降落伞，求落地时间。
〔讲评〕
生：加速度a=10-0.001v2,变加速直线运动，没学过。 师：在很短的时间内，变加速可不可以看做匀加速？
生：可以，这样原运动过程可分割成很多段匀加速直线运动。 师：难道跳伞的速度会无限的增大吗？ 生：当a=0时，速度就是常数了 讨论：如果要控制落地时间，比如保证23秒时落地，求打开降落伞的时间，怎么办？
(参考：m3.m） 4.求y=x2在区间[0,6]上的图像（曲线）长度。 〔讲评〕
师：如何求曲线的长度？
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生：可将曲线分割成很多段，每段近似为直线段，这样曲线的长度近似为折线的长度。
讨论：如何判断你的结果的精确程度？ (参考：m4.m）
5.细菌在实验室封闭容器中养殖，每天都测一次细菌的数量，第一天，细菌数量为500，第二天为1000（此时生长率为2），后来随着细菌数量的剧增，生长率越来越低，当细菌数目为10000时，生长率才1.1，也就是说，该天的二天细菌数不过11000。如果生长率是细菌数目的线性函数，问细菌数目最后有没有可能达到一个稳定的水平，是多少？
〔讲评〕
师：如何描述生长率和细菌数目的关系？
生：细菌数目p=500时，生长率r=2,细菌数目p=10000时，生长率r=1.1, 很容易求出r,p间的关系：r=-0.0000947×p+2.0472 师：如何计算第n天的细菌数目？
生：利用递推关系p(n)=p(n-1)×(-0.0000947×p(n-1)+2.0472)从第二天开始算 师：如何判断细菌数目达到稳定水平？
生：作图，或看看|p(n+1)-p(n)|是否越来越接近0
讨论：上述递推关系中的常数0.0000947，2.0472对细菌数目稳定性的影响如何？
(参考：m5.m）
练习：.
某池塘内的鱼的生长有以下递推关系：
p(n+1)=0.01(200-p(n))p(n)。 p(n)是第n 年池塘内鱼的数目（单位：千尾）. 当池塘内鱼的数目达到一定数目时，开始捕鱼，若每年 16000 尾, 问池塘内的鱼能否达到某一稳定水平？当池塘内鱼的数目达到什么水平时方可捕捞？如果你是渔场经理，你的捕捞方案如何？ 6.如图，线段旁边的数据表路长，箭头表路的方向，求节点 1 到节点9 的最短路.
1 2 10 5 9 2 6 3 6 1 3 6 3 3 4 8 10 1 2 4 7 2 6 4 10
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〔讲评〕
师：如何用数据描述上图？
生：用9×9矩阵a,a(i,j)表节点i,j间的路长 师：a(4,1),a(3,1)等于多少？ 生：无穷大。
师：a(1,1),a(2,2) 等于多少？ 生：0
师：如何找最短路径？ 生：枚举法，很简单！
师：9个点，要算8！＝40320次，若20个点，要算19！>1017次,计算机要算瘫了。 通常采用Dijkstra算法，
第一步：设从点i到j的最短路长f(i,j)，就是这点i到j的路长a(i,j)。f也是一个 9×9的矩阵。
第二步，寻找“两边之和小于第三边”，即在 (k=1,2,…9)中寻找使
d(k)=a(i,k)+f(k,j) 最小的k,对应的d(k)的值，作为“改良”的 点i到j的最短路长f(i,j)
第三步，重复第二步的工作，考虑到最短路径最多8条边，所以，第二步的重复次数不会超过8
(参考：m6.m）
7.下图为一网络，节点1到节点2的宽带带宽为6兆，节点1到节点3的宽带带宽为2兆，节点2到节点4的宽带带宽为3兆，…节点4到节点6的宽带带宽为2兆，求节点1到节点6的最大网速。
3 42 2
6
1 3 2 7 5 1 3 7 6 〔讲评］
师：这个问题用Lingo建模，非常简介，但是用Matlab也可以。 解决这种问题往往分两步：
第一步：寻找从节点1到节点6的通道，并算出该通道的最大网速，并计算出该通道中各宽带剩下的带宽容量，例：节点1，3，5，6通道，可获得网速2，节点1到3的容量变为0，节点3到5变为5，节点5到6变为5。
第二步：重复第一步的工作，直到找不到从节点1到节点6的通道为止。
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生：如何寻找节点1到节点6的通道呢？
师：通道就是路径，我们可以给容量不为0的宽带定义路长1，只要我们找到从节点1到节点6的最短路长，如果不是无穷大，那么相对应的路径就是一条通道。
(参考：m7.m）
8. 某伐木公司即将开始在同一地区的八大林区伐木,故须建造一伐木道路系统,以使每一林区皆与其他每一林区相通.任意两林区间距离间下表:
1 2 3 4 5 6 7 8 1 1.3 2.1 0.9 0.7 1.8 2.0 1.5 2 0.9 1.8 1.2 2.6 2.3 1.1 3 2.6 1.7 2.5 1.9 1.0 4 0.7 1.6 1.5 0.9 5 0.9 1.1 0.8 6 0.6 1.0 7 0.5 试决定在各林区间如何造路,才能以最短路长连通全部林区. 〔讲评］
生：连通8个林区只需修7条道
师：随便7条道都能连通8个林区吗？ 生：不能，7条道中不能有圈
师：如何用Matlab描述上述问题？
生：林区间的距离可用8×8矩阵a表示，a(i,i)等于无穷大 师：如何找出7条道？
生：从a中挑出7个最小的数 师：如何判断是否有圈？
生：为了避免有圈，我们采用扩展的方法 第一步：找出最短的道路，设为a(i,j),将节点i,j存在数组p（已连通的林区）中，其它节点存在数组u（没连通的林区） 中
第二步：从p到u中找最短的道路，也就是从子矩阵a(p,u)中找出最小值a(m,n),将n从u中调入p中
第三步：重复第二步，直到找到7条道
(参考：m8.m）
练习：
一个小城市有六个小区。市长John Lion拟建设电话系统使得六个小区能相互通信。假设小区1和小区4间不能架设电话线，问电话线的最短长度为多少？
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5
2
1
7
5
3
3
3
5
5
4
7
5
4
9.12小时内,一小时测量一次室外温度.数据如下表: 小时 1 2 3 4 5 6 7 温度 5 8 9 15 25 29 31 试估计下列时间的温度:9.3,3.2,6.5,7.1,11.7. 〔讲评］
师：做出温度时间的散点图： 35 30 25 20 15 10 5246810 0
我们可以用折线拟合温度时间曲线：
8 30 9 22 10 25 11 27 12 24 1250