第六章 参数估计
6.1 点估计问题概述
习题1
总体X在区间[0,θ]上均匀分布，X1,X2,?,Xn是它的样本，则下列估计量θ是θ的一致估计是().
(A)θ=Xn; (B)θ=2Xn; (C)θ=Xˉ=1n∑i=1nXi; (D)θ=Max{X1,X2,?,Xn}. 解答： 应选(D).
由一致估计的定义，对任意?>0,
P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣
FX(x)={0,x<0xθ,0≤x≤θ1,x>θ, 及
F(x)=FMax{X1,X2,?,Xn}(x)=FX1(x)FX2(x)?FXn(x),
所以
F(?+θ)=1, F(-?+θ)=P(Max{X1,X2,?,Xn}<-?+θ)=(1-xθ)n,
故
P(∣Max{X1,X2,?,Xn}-θ∣
习题2
设σ是总体X的标准差，X1,X2,?,Xn是它的样本，则样本标准差S是总体标准差σ的(). (A)矩估计量； (B)最大似然估计量； (C)无偏估计量； (D)相合估计量. 解答： 应选(D).
因为，总体标准差σ的矩估计量和最大似然估计量都是未修正的样本标准差；样本方差是总体方差的无偏估计，但是样本标准差不是总体标准差的无偏估计.可见，样本标准差S是总体标准差σ的相合估计量.
习题3
设总体X的数学期望为μ,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，a1,a2,?,an是任意常数，验证(∑i=1naiXi)/∑i=1nai (∑i=1nai≠0)是μ的无偏估计量. 解答：
E(X)=μ,
E(∑i=1naiXi∑i=1nai)=1∑i=1nai?∑i=1naiE(Xi) (E(Xi)=E(X)=μ) =μ∑i=1nai∑i=1n=μ, 综上所证，可知∑i=1naiXi∑i=1nai是μ的无偏估计量. 习题4
设θ是参数θ的无偏估计，且有D(θ)>0, 试证θ2=(θ)2不是θ2的无偏估计. 解答：
因为D(θ)=E(θ2)-[E(θ)]2, 所以
E(θ2)=D(θ)+[E(θ)]2=θ2+D(θ)>θ2,
故(θ)2不是θ2的无偏估计.
习题5
设X1,X2,?,Xn是来自参数为λ的泊松分布的简单随机样本，试求λ2的无偏估计量. 解答：
因X服从参数为λ的泊松分布，故
D(X)=λ, E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2=E(X)+λ2,
于是E(X2)-E(X)=λ2, 即E(X2-X)=λ2.
用样本矩A2=1n∑i=1nXi2,A1=Xˉ代替相应的总体矩E(X2),E(X), 便得λ2的无偏估计量
λ2=A2-A1=1n∑i=1nXi2-Xˉ.
习题6
设X1,X2,?,Xn为来自参数为n,p的二项分布总体，试求p2的无偏估计量. 解答：
因总体X～b(n,p), 故
E(X)=np,
E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1-p)+n2p2 =np+n(n-1)p2=E(X)+n(n-1)p2,
E(X2)-E(X)n(-1)=E[1n(n-1)(X2-X)]=p2,
于是，用样本矩A2,A1分别代替相应的总体矩E(X2),E(X),便得p2的无偏估计量
p2=A2-A1n(n-1)=1n2(n-1)∑i=1n(Xi2-Xi).
习题7
设总体X服从均值为θ的指数分布，其概率密度为
f(x;θ)={1θe-xθ,x>00,x≤0,
其中参数θ>0未知. 又设X1,X2,?,Xn是来自该总体的样本，试证：Xˉ和n(min(X1,X2,?,Xn))都是θ的无偏估计量，并比较哪个更有效. 解答：
因为E(X)=θ, 而E(Xˉ)=E(X), 所以E(Xˉ)=θ, Xˉ是θ的无偏估计量.设
Z=min(X1,X2,?,Xn),
因为
FX(x)={0,x≤01-e-xθ,x>0,
FZ(x)=1-[1-FX(x)]n={1-e-nxθ,x>00,x≤0,
所以fZ(x)={nθe-nxθ,x>00,x≤0, 这是参数为nθ的指数分布，故知E(Z)=θn, 而
E(nZ)=E[n(min(X1,X2,?,Xn)]=θ,
所以nZ也是θ的无偏估计.现比较它们的方差大小.
由于D(X)=θ2, 故D(Xˉ)=θ2n. 又由于D(Z)=(θn)2, 故有
D(nZ)=n2D(Z)=n2?θ2n2=θ2.
当n>1时，D(nZ)>D(Xˉ), 故Xˉ较nZ有效.
习题8
设总体X服从正态分布N(m,1),X1,X2是总体X的子样，试验证
1=2 X1+1 X2, 2=1 X1+ X2, =12X1+12X2,
都是m的无偏估计量；并问哪一个估计量的方差最小? 解答：
因为X服从N(m,1), 有
E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),
得
E( 1)=E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m, D( 1)=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,
同理可得：E( 2)= ,D( 2)= , E( )= ,D( )=12.
所以， 1, 2, 都是m的无偏估计量，并且在 1, 2, 中，以 的方差为最小.
习题9
设有k台仪器. 已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi(i=1,2,?,k), 用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1,X2,?,Xk. 设仪器都没有系统误差，即E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 问a1,a2,?,ak应取何值，方能使用 =∑i=1kaiXi估计θ时， 是无偏的，并且D( )最小？ 解答：
因为E(Xi)=θ(i=1,2,?,k), 故
E( )=E(∑i=1kaiXi)=∑i=1kaiE(Xi)=θ∑i=1kai,
欲使E( )=θ, 则要∑i=1kai=1.
因此，当∑i=1kai=1时， =∑i=1kaiXi为θ的无偏估计, D( )=∑i=1kai2σi2, 要在∑i=1kai=1的条件下D( )最小，采用拉格朗日乘数法. 令
L(a1,a2,?,ak)=D( )+λ(1-∑i=1kai)=∑i=1kai2σi2+λ(1-∑i=1kai),
{?L?ai=0,i=1,2,?,k∑i=1kai=1,
即2aiσi2-λ=0,ai=λ2i2;
又因∑i=1kai=1, 所以λ∑i=1k12σi2=1, 记∑i=1k1σi2=1σ02, 所以λ=2σ02, 于是
ai=σ02σi2 (i=1,2,?,k),
故当ai=σ02σi2(i=1,2,?,k)时， =∑i=1kaiXi是θ的无偏估计，且方差最小. 习题6.2 点估计的常用方法 习题1