第十五讲 倾斜的天平——由相等到不等
现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系，许多现实问题是很难确定(有时也不需确定)具体的数值，但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围或趋势，从而对所研究问题的全貌有一个比较清晰的认识．
不等式(组)是探求不等关系的基本工具，不等式(组)与方程(组)在相关概念、解法上有着相似点，又有不同之处，主要体现在：
等式、不等式两者都乘以(或除以)同一个数时，等式仅需考虑这个数是否为零，而不等式不但要考虑这个数是否为零，而且还需注意这个数的正负性；
解方程组时，我们可以“统一思想”，即可以对几个方程进行“代人”或“加减”式的加工，解不等式组时，我们只能“分而治之”，即只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分，才能得出不等式组的解集．
例题 【例1】 已知关于x的不等式组??5?2x??1无解，则x的取值范围是 ；
?x?a?0 (2)已知不等式3x—a≤o的正整数解恰是l，2，3，则a的取值范围是 ． (重庆市中考题)
思路点拨 (1)从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分；
(2)由题意知不等式的解在x<4的范围内．
【例2】(1)若不等式(ax一1)(x十2)>0的解集是一3 (2)已知一1 A．一l 思路点拨 (1)由有理数的乘法法则，将不等式转化为不等式组，由不等式组的解集逆推出参数a的值；(2)把x用a的代数式表示，由a的范围来确定x的取值范围，注意分类讨论． 注：类比是根据对象或两类事物的一些属性相同或相似，猜测另一些属性相同或相似的思维方法，方程与不等式可以从几个方面类比学习： (1)相关定定义； (2)基本性质；； (3)解法； (4)解的情况的讨论． 【例3】 解下列关于x的不等式(组)： (1)(2mx?3)?3x?n； (2)x?2?2x?10； 211 B．? C．3 D．一3 (湖北省宜昌市中考题) 33（3）?ax?4?8?3ax?． ?(a?2)x?2?2(1?a)x?4 思路点拨 与方程类似，解含字母系数的不等式(组)需要对字母系数进行讨论；解含绝对值符号的不等式(组)的关键是去掉绝对值符号，化为一般的不等式来求解，而“零点分段讨论法”是最有效的方法． 【例4】 已知三个非负数a、b、c满足3a?2b?c?5和2a?b?3c?1，若m?3a?b?7c，求m的最大值和最小值． (江苏省竞赛题) 思路点拨 本例综合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值． 【例5】 求x5?3yz?7850中的数字x、y、z． (全俄第19届中学生竞赛题) 思路点拨 从估算玩3yz值的大小，建立关于x的不等式组入手． 注： 若一元一次不等ax?b后，则(1)当a>0时，x?bb ；(2)当a<0时，x?(3)当a=0， b>0，则解aa 集为所有数；若b≤0，则这个不等式无解． 了解含绝对值符号的不等式，常用到绝对值概念与性质： (1)若x?a(a?0)，则?a?x?a；(2)若x?a，则x?a或x??a；(3)若a?a，则a?0；(4)若a?b，则a2?b2． 相等与不等是矛盾的两个方面，既对立，又统一，具体体现在：(1)运用不等式(组)讨论方程(组)的解的正负性；(2)运用不等式(组)，用逼近的方法求特殊方程(组)的解；(3)对于含有等式、不等式的混合型问题，综合运用方程(组)(消元思想)、不等式(组)(逼近思想)求解． 确定不等式(组)中参数的取值范围常用的方法有： (1)逆用不等式(组)解集确定， (2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定． ?x?6x???1?(1)【例6】 若关于x的不等式组?5的解集为x<4，则m的取值范围是 ． 4??x?m?0?(2) 思路点拨 由①得 x<4． 由②得x<—m．∵其解集为x<4， ∴－rn≥4，∴m≤－4． 【例7】 若不等式(2a—b)x+3a—4b<0解集是x?思路点拨 原不等式可化为(2a—b)x＜4b－3a 4 ， 则不等式(a-4b)x+2a—3b＞0的解集是 ． 9 4 9 a?b?0?81?42∴?b?3a4 ，可得a?b,b?0 ，代入所求的不等式得解集为x??． ?74??2a?b9∵x? 注： 不等式系数的符号决定了不等式解集中的不等号的方向，其数值决定了取值范围的边界，所以，反 过来，我们可以通过不等式的解集来确定不等式中系数的符号及参数的取值范围，通常用直观分析法或数轴分析法． 5x?7??x??3?(2x?5)?(1) 【例8】 试确定c的取值范围，使不等式组? 5??1.5c?0.5(x?1)?0.5(c?x)?0.5(2x?1)?(2) (1)只有一个整数解；（2）无整数解． (2)只有一个整数解毒味着有解，且 思路点拨 由（1）得x>－1.7，由（2）x (2)若无整数解，则c≤－1 【例9】 在满足x+2y≤3，z≥0，y≥0的条件下，2x+y能达到的最大值是 ． 思路点拨 ∵x+2y≤3，∴x≤3-2y， ∴2x十y≤2(3-2y)+y=－3y+6 ∵y≥0， ∴2x+y≤6． 故2x+y的最大值为6． 【例10】设x1，x2，?，x7为自然数，且x1< x2< x3 思路点拨 ∵x1，x2，?，x7为自然数，且x1< x2< x3 57，∴x1的最大值为19； 又∵19+x2+x3+?+x7=159， ∴ 140≥x2+(x2+1)+( x2+2)+?+(x2+5)=6x2+15， ∴x2≤2056，∴x2的最大值为20 当x1，x2都取最大值时，有120=x3+x4+?+x7≥x3+( x3+1)+?(x3+4)=5x3+10 ∴x3≤22，∴x3最大值为22． ∴x1+ x2+x3的最大值为19+20+22=61． 学力训练 ?1．若关于x的不等式组?x?6?5?x4?1的解集为x<4，则m的取值范围是 ． ??x?m?02．若不等式组??2x?a?1?2b?3的解集为一l< x ?x (重庆市中考题) 3．已知a<0，且ax?a，则2x?6?x?2的最小值为 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 4．当k= 时，方程组??x?2y?6?y?9?3k有正整数解． ?x5．已知a为整数，关于x的方程a2x?20?0的根是质数，且满足ax?7?a2，则a等于( A．2 B．2或5 C．土2 D．一2 (江苏省竞赛题) 6．若方程组??4x?y?k?1的解满足条件?x?y?1，则k的取值范围是?x?4y?3( )． A．一4 (河南省竞赛题) )． 7．要使不等式??a7?a5?a3?a?a2?a4?a6???成立，有理数a的取值范围 是( )． A．0 9．解下列关于x的不等式(组)： (1) abx?b?x?ab； (2)2x?1?3； (3)x?4?2x?3?1； 22 （4）ax?1?ax?1； （5）??x?a?1 ?x?2a?110．已知方程组??x?y?2，若方程组有非负整数解，求正整数m的值． mx?y?6?11．如果??x?12是关于x、y的方程(ax?by?12)?ax?by?8?0的解，求不等式组 ?y?213x?14??x?a?的解集． ?b??ax?3?x?3?x??1?12．已知不等式组?x?1 ?x?1?k?(1)当k?1时，不等式组的解集是 ；当k=3时，不等式组的解集是 ； 2当k＝一2时，不等式组的解集为 ． (2)由(1)知，不等式组的解集随数k值的变化而变化，当k为任意有理数时，不等式组的解集为 ． (常州市中考题) 13．如果关于x的不等式(2m—n)x—m一5n>0的解集为x?为 ．(哈尔滨市竞赛题) 10，那么关于x的不等式mx>n(rn≠0)的解集7?x?y?a?314．已知关于x，y的方程组?的解满足x>y>0，化简a?3?a＝ ． 2x?y?5a? (2003年呼和浩特市中考题) 15．不等式(x?x)(2?x)?0的解集是 ． 2x?3(x?3)?1??16．关于x的不等式组?3x?2有四个整数解，则a的取值范围是（ ）． ?x?a??4