2019-2020年高考数学第一轮复习教案人教版
【教学目标】
正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理,并能运用它解决有关垂直问题。 【知识梳理】
O
1.斜线长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,
①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; ②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; ③垂线段比任何一条斜线段都短. B A 2.重要公式
? C D 如图,已知OB?平面?于B,OA是平面?的斜线,A为斜足,
直线AC?平面?,设?OAB=?1,又?CAB=?2,?OAC=?.那么
cos?=cos?1cos?2. 3.直线和平面所成的角
①平面斜线与它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角.
②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面所成的角是0的角.
4.三垂线定理和三垂线定理的逆定理 名称 语言表述 图 示 字母表示 应 用 ①证两直线垂直 ②作点线距 ③作二面角 的平面角 同 上 在平面内的一条直线,三垂线如果和这个平面的一条定 理 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 三垂线在平面内的一条直线,定理的如果和这个平面的一条逆定理 斜线垂直,那么它也和 P ? A P O a O a ? A 这条斜线的射影垂直. 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直,尤其是证明两条异面直线垂直,此外,还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角.在应用这两个定理时,要抓住平面和平面的垂线,简称“一个平面四条线,线面垂直是关键”. 【点击双基】
1.下列命题中,正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行
(C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线
(D)a、b在平面外,若a、b在平面内的射影是两条相交直线,则a、b也是相交直线 2.直线a、b在平面?内的射影分别为直线a1、b1,下列命题正确的是 ( ) (A)若a1?b1,则a?b (B)若a?b,则a1?b1 (C)若a1??b1,则a与b不垂直 (D)若a??b,则a1与b1不垂直 3.直线a、b在平面外,若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线,则a与b是 ( )
(A)异面直线 (B)相交直线
(C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线
4.P是△ABC所在平面外一点,若P点到△ABC各顶点的距离都相等,则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
5.P是△ABC所在平面外一点,若P点到△ABC各边的距离都相等,且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部,则射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 6.P是△ABC所在平面外一点,连结PA、PB、PC,若PA?BC,PB?AC,则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
7.从平面外一点向这个平面引两条斜线段,它们所成的角为?.这两条斜线段在平面内的射影成的角为?(90???<180?),那么?与?的关系是 ( )
(A)? (B)?>? (C)??? (D)???
8.已知直线l1与平面成30角,直线l2与l1成60角,则l2与平面所成角的取值范围是 ( )
(A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90] 【典例剖析】
例1.如果四面体的两组对棱互相垂直,求证第三组对棱也互相垂直.
已知:四面体ABCD中,AB?CD,AD?BC;
A 求证:AC?BD;
c 证法一:作AO?平面BCD于O, a 连OB、OC、OD,∵AB?CD,∴OB?CD,同理,由AD?BC得OD?BC, b D B ∴O是△BCD的垂心,∴OC?BD,从而AC?BD.
O 证法二:设=a,=b,=c,则=ba,=ca,=cb, C ∵AB?CD,AD?BC,∴a(cb)=0,c(ba)=0,则ac=ab,ac=cb. ∴ab=cb,即abcb=0,从而有b(ca)=0,故?.
例2.如图,在三棱锥PABC中,ACB=90,ABC=60,PC平面ABC,AB=8,PC=6,M、N分别是PA、PB的中点,设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l.
(1)判断l与MN的位置关系,并进行证明;
P
(2)求点M到直线l的距离. 解:(1)l??MN,证明如下: M N ∵M、N分别是PA、PB的中点, ∴MNAB,MN平面ABC,AB平面ABC, A
B
∴MN平面ABC.又∵MN平面MNC,
Q l 平面MNC平面ABC=l,∴MNl.
(2)取AC的中点Q,连MQ,则MQPC, D C 而PC平面ABC,∴MQ平面ABC.
作QD直线l于D,连MD,则MD直线l. 线段MD的长即为M到直线l的距离. 在Rt△ABC中,可求得AC=4,∴QC=2. 又MQ=PC=3,?QCD=30?,∴QD=QC=. 于是 MD==2.
例3.如图,P 是ΔABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和 ΔPBC的垂心,试证:OQ⊥平面PBC。
证明: ∵O是ΔABC的垂心,∴BC⊥AE。 ∵PA⊥平面ABC, 根据三垂线定理得BC⊥PE。∴BC⊥平面PAE。∵Q是ΔPBC 的垂心,故Q在PE上,则OQ平面PAE,∴OQ⊥BC。 ∵PA⊥平面ABC,BF平面ABC,∴BF⊥PA,又∵O是ΔABC的垂心,∴BF⊥AC,故BF⊥平面PAC。因而FM是BM在平
面PAC内的射影。因为BM⊥PC,据三垂线定理的逆定理,
FM⊥PC,从而PC⊥平面BFM。又OQ平面BFM,所以OQ⊥PC。 综上知 OQ⊥BC,OQ⊥PC,所以OQ⊥平面PBC。
说明:此题涉及直线与平面垂直,需用三垂线定理及逆定理。
例4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ΔABC是直角三角形,∠ABC=,2AB=BC=BB1=a,且
A1C∩AC1=D,BC1∩B1C=E,截面ABC1与截面A1B1C交于DE。
(1)A1B1⊥平面BB1C1C;(2)求证:A1C⊥BC1;(3)求证:DE⊥平面BB1C1C。
证明:(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴侧面与底面垂直,即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,又∵AB⊥BC,∴A1B1⊥B1C1 从而A1B1⊥平面BB1C1C。
(2)由题设可知四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C,而A1B1⊥平面BB1C1C, ∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C,由三垂线定理得A1C⊥BC1
(3)∵直三棱柱的侧面均为矩形,而D、E分别为所在侧面对角线的交点,∴D为A1C的中点,E为B1C的中点,∴DE∥A1B1,而由(1)知A1B1⊥平面BB1C1C,∴DE⊥平面BB1C1C。
例5.如图P是ABC所在平面外一点,PA=PB,CB平面PAB,M是PC的中点, N是AB上的点,AN=3NB (1)求证:MNAB;(2)当APB=90,AB=2BC=4时,求MN的长。
P(1)证明:取的中点,连结,∵是的中点,
M ∴,∵ 平面 ,∴ 平面
∴是在平面内的射影 ,取 的中点,连结 CA
,∵∴,又,∴ NB
∴,∴,由三垂线定理得 (2)∵,∴,∴,∵平面 ∴,且,∴
【知识方法总结】
运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影,而确定射影的关键又是“垂足”,如果“垂足”,定了,那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。