的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．
21．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方
体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm, AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.
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【答案】118.8
【解析】由题意得，S四边形EFGH?4?6?4??2?3?12cm， ∵四棱锥O?EFGH的高为3cm， ∴VO?EFGH?1221?12?3?12cm3． 33又长方体ABCD?A1B1C1D1的体积为V2?4?6?6?144cm，
3所以该模型体积为V?V2?VO?EFGH?144?12?132cm，其质量为0.9?132?118.8g．
【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.
22．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果
网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
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【答案】40
【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱MPD1A1?NQC1B1之后余下的几何体，
则几何体的体积V?4?31??2?4??2?4?40. 2【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
23．【2019年高考北京卷理数】已知l，m是平面?外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥?；
③l⊥?．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
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【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内； （3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α. 故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.
24．【2019年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 【答案】
π 4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为5?1?2.
若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为
21， 2π?1?故圆柱的体积为π????1?. 4?2?【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.
25．E为CC1的中点，【2019年高考江苏卷】如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的体积是120，则三棱锥E?BCD
的体积是 ▲ .
【答案】10
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【解析】因为长方体ABCD?A1B1C1D1的体积为120，所以AB?BC?CC1?120， 因为E为CC1的中点，所以CE?1CC1， 2由长方体的性质知CC1?底面ABCD，
所以CE是三棱锥E?BCD的底面BCD上的高， 所以三棱锥E?BCD的体积V?111111?AB?BC?CE???AB?BC?CC1??120?10. 3232212【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为
长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）
【答案】26，2?1
【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18?8?26个面．
如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB?BE?x，延长CB与FE的延长线交于点G，延长BC交正方体的棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，
?BG?GE?CH?22x,?GH?2?x?x?(2?1)x?1， 22?x?1?2?1， 2?1
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即该半正多面体的棱长为2?1．
【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形． 27． 【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．
【答案】
4 3【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等
1于 ，所以该多面体的体积为2??1?3??22?4. 3【名师点睛】解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．
28．【2018年高考天津卷理数】已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余
各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M?EFGH的体积为 .
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