讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每一节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思讲义编写组
第十四讲 规律性问题
编写说明
规律性问题和周期性问题紧密相连，我们在暑假的第二讲将对周期性问题进行学习，加之这是考试前的最后一讲，所以题量将稍稍减少. 教师可在此多多调动孩子们的积极性，让他们自己发现规律，并解答问题.您如果有时间，也可以对于本班比较薄弱的环节进行强化，帮助孩子们更加深刻的理解原由，巩固相应阶段应该掌握的内容，在期末考试中取得一个比较满意的成绩.
同时预祝各位老师的教学效果更上一层楼！身体健康！幸福快乐！
内容概括
无论是在奥数的学习中，还是在日常生活中，我们都会发现很多很多规律，它可以帮助我们更好的认识问题.特别是在奥数学习中，一些数列、数阵的排列，图形周长、面积的变化、庞大数字的计算等等都有一定的规律.只有经过观察、思考和试算，发现数与数、图形与图形相互之间的关系，才能得到题目的答案. 同学们，通过学习，希望你在平时多积累，多归纳，善于发现、总结一些规律，因为学会发现往往比学会几道题目重要得多.
例题精讲
【例1】 （清华附中培训试题）右图的图案表示一个花圃的设计方案，汉字表示每盆花的颜色，请问第7行第5盆花的颜色？第20行第5盆花的颜色？ （从左往右计数）
分析：从上往下，从左至右，排列周期是：红、蓝、白、黄 ；第7行第5盆花的颜色：1+2+3+4+5+6+5=26（盆），26÷4=6……2，所以是蓝色；第20行第5盆花的颜色：1+2+……+19+5=195，195÷4=48……3，所以是白色的.
【前铺】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第1993个小球该涂什么颜色？在前1993个小球中，涂黑色的小球有多少个？
分析:根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次.这里，给小木球涂色的周期是：5＋4＋3＋2＋1=15.1993÷15=132……13，第1993个小球出现在上面所列一个周期中第13个，所以第1993个小球是涂黑色。每个周期黑球共有2个，则一共有2×132＋1=265（个）.
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【例2】 （小学数学奥林匹克决赛）有-列数1，1989，1988，1，1987，…，从第三个数起，每-个数都是它前面两个数中大数减小数的差.那么第1989个数是 .
分析：数列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，…，中每隔3个数有-个1，去掉1以后，每个数比前一个少1. 1989÷3=663，所以第1989个数是1989—663×2+1＝664 . 【巩固】（迎春杯决赛）如果按-定规律排出的加法算式是：3+4，5+9，7+14，9+19，11+24，….那么，把各个算式中前后两个加数分别排到第10个就是 和 ；第80个算式就是 .
分析：讲解此题之前教师可根据本班情况对等差数列的有关性质进行适当回忆巩固.各算式中前面的加数依次排成-个首项是3、公差为2的等差数列；各算式中后面的加数依次排成-个首项是4、公差是5的等差数列.因此，第10个算式的前-个加数是3+2×(10-1)=21，后-个加数是4+5×(10—1)=49；类似地，第80个算式是161+399.
【例3】 （迎春杯决赛）已知-串有规律的数：1,,,251334,,......那么，在这串数中，从左往右数，第
38215510个数是 .
分析：每个分数的分子等于前-个分数的分母加分子；每个分数的分母等于分子加前-个分数的分母，所以第6、7、8、9、10个分数依次为：
8923361015974181 ,,,,14437798725846765【巩固】（华罗庚金杯赛）一列数：0、1、1、2、4、7、13、A、…从左至右具有一定的排列规律，那么A可以是四个数22、23、24、25中的一个数，这个数是？
分析：从第四个数开始，每个数都等于前面三个数之和，所以A=4+7+13=24 ..
【例4】 （从小爱数学邀请赛）在一串分数：；，，；，，，，；，，，，，，；....... （1）
112112321123432112223333344444447是第几个分数？（2）第400个分数是几分之几？ 10
分析：（1）分母为1、2、3、4、5…的分数分别有1个、3个、5个、7个、9个、….1+3+5+7+9+11+13+15+17+7=88，88+2×(10-7)=94，所以
7是第88、94个分数. 101. 20（2）1+3+…+(2×20—1)=400 ，所以，第400个分数是
【例5】 （迎春杯决赛）真分数1992.那么a=_____.
分析：
??2??3??1?0.142857,?0.285714,?0.428571,777??5??6??4?0.571428,?0.714285,?0.857142,777a化为小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是7
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a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是：1+4+2+8+5+7=27，又因7??a为1992=27×73+21，并且8+5+7+1=21，所以=0.857142，即a=6 .
7因此，真分数
【例6】 一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6……，问从左面第一个数起，数（shǔ）100个数，这100个数的和是多少？
分析：（法1）：观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如下：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……可以发现这串数的排列有这样的规律：第1、2、3、……组中第一个数依次为1，2，3，……每一组数都是由3个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的3倍。100÷3=33……1，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34.求前100个数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少。所以和为：2×3＋3×3＋4×3＋……＋34×3＋34=1816 . （法2）：解法中利用分组的思想，（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6）……，部分学生会选择每组第一个数相加得：1+2+3……+33=561, 那么总和即为561×3＋33＋66＋34=1816.可先讲此法，再提出中位数（中间数字）或者平均数的方式讲解原解.
【例7】 （迎春杯初赛试题改编）按规律排列的-串数：2、5、9、14、20、27、…，这串数的第2007个数是多少？
分析：讲解此题之前，教师不妨帮助学生回忆下面一道题目，注意运用下题中解决问题的画图分析法.
【前铺】你还记得怎样找出下列数列的规律么？请你根据规律填数。 （1）2、3、5、8、12、（ ）、23 …… （2）0、2、6、12、20、（）、42…… 分析：（1）
学生一定要掌握这种画图 找数字规律的方法.
（2）法一：
法二 ：原数列可以这样看：0×1、1×2、2×3、3×4、4×5、（5×6）、6×7……，其实，有许多数列的规律不止一种，只要你用心做，总能找到一种规律的.
原题解答：我想有了上题的铺垫，学生们都恍然大悟，但是要一项一项的写到第2007个数就太恐怖了，那么我们有没有一个好的办法解决这个问题呢？我们一起来看看： 第一项=2 ； 第二项=5=2+3； 第三项=9=2+3+4； 第四项=14=2+3+4+5；
第五项=20=2+3+4+5+6；……
第2007项=2+3+…+2008=1005×2007=2017035 .一定要帮助学生体会思路，掌握研究问题的方法.
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