2010-2014北约自主招生数学笔试试题及答案 - 图文

2010年“北约”自主招生数学试题

1.(仅文科做)0???

2.AB为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB最长为

3.AB为y?1?x2上在y轴两侧的点,求过AB的切线与x轴围成面积的最小值.(25分)

4.向量OA与OB已知夹角,OA?1,OB?2,OP?(1?t)OA,OQ?tOB,0≤t≤1.PQ5?1.(25分) 2?,求证:sin????tan?. 21在t0时取得最小值,问当0?t0?时,夹角的取值范围.(25分)

5

5.(仅理科做)存不存在0?x?

1

?,使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列.(25分) 22011北约自主招生数学试题

?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5,一条对角线长是6,求另一条对角线的长。

?2求过抛物线

?3、等差数列

满足=

,这个数列的前n项和为,数列

中哪一

2

交点的直线方程。

项最小,并求出这个最小值。

?4、?ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c,A,B,C为?ABC的内角,求证:C≤? 5、是否存在四个正实数,它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16?

?6、和是平面上两个不重合的固定圆,C是该平面上的一个动圆,C和则C的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由。

?7、求f(x)=

的最小值。

都相切,。

2012年“北约”自主招生数学试题

1、求x的取值范围使得f(x)?x?2?x?x?1是增函数;

2、求x?11?6x?2?

x?27?10x?2?1的实数根的个数;

2

3、已知(x2?2x?m)(x2?2x?n)?0的4个根组成首项为

1的等差数列,求m?n; 4

4、如果锐角?ABC的外接圆的圆心为O,求O到三角形三边的距离之比;

5、已知点A(?2,0),B(2,0),若点C是圆x2?2x?y2?0上的动点,求?ABC面积的最小值。

6、在1,2,?,2012中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?

7、求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在[0,?)有唯一解的a;

8、求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;

9、求证:对于任意的正整数n,(1?2)n必可表示成s?s?1的形式,其中s?N?

2013年北约自主招生数学试题

1.以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?

A.2 B.3 C.5 D.6

2.在6?6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有多少种停放方法?

3.已知x?2y?5,y?2x?5,求x?2xy?y的值.

3

2232234.如图,△ABC中,AD为BC边上的中线,DM、DN分别为∠ADB、∠ADC的角平分线,试比较BM+CN与MN的大小关系,并说明理由.

E B D N C A

5.设数列?an?满足a1?1,前n项和为Sn,Sn?1?4an?2,求a2013.

6.模长为1的复数x,y,z满足x?y?z?0,求

7.最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三数之和都为素数.

8.已知ai,i?1,2,3,?,2013为2013个实数,满足a1?a2?a3???a2013?0,且

xy?yz?zx.

x?y?za1?2a2?a2?2a3?…?a2013?2a1,求证a1?a2?a3???a2013?0.

4

9.对于任意的?,求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值.

10.已知有mn个实数,排列成m?n阶数阵,记作aij6??m?n使得数阵的每一行从左到右都是

递增的,即对任意的i?1,2,3,?,m,当j1?j2时,有aij1?aij2;现将aij??m?n的每一列原有,即对任意

的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m?n阶数阵,记作a'ij的j?1,2,3,?,n,当i1?i2时,有a'i1j?a'i2j,试判断a'ij并加以证明.

??m?n??m?n中每一行的各数的大小关系,

2014年北约自主招生数学试题

1.圆心角为60的扇形面积为6?,求它围成的圆锥的表面积.

2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.

3.如果f(x)?lg(x2?2ax?a)的值域为R,求a的取值范围.

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