?4、?ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为?ABC的内角，求证：C≤解：ab≤
，cosC=
≥
。
，
所以C≤。
? 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？
解：设存在四个正实数分别为a ， =1，b=2，c=3，d=5，而cd=15≠16，故不存在。 ，不满足，故不存在。 都相切， 或解：∵abcd=32，而 ?6、和是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。 解：设两定圆⊙⑴当① 相交时 的垂直平分线去掉两圆的公共弦； 的垂直平分线； |= R，| |=+R，| |+| |= 的半径分别为 ，动圆C的半径为R。 a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段 c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|轨迹是以② 为焦点的椭圆。 时 ， a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段 的垂直平分线去掉两圆的切点； 的垂直平分线； ，去掉 和两圆的切点。 c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是直线③ 相离时 a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段 的垂直平分线； 的垂直平分线； 11 c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|轨迹是以⑵当① 为焦点的双曲线。 ，不妨设 相交时 | =| | |=||+，||||||=， a).⊙C与它两都外切，|，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的 一支，去掉两圆公共区域的部分； b).⊙C与它两都内切，| | =| | ，或 | |= | |轨迹是以 为焦点的双曲 线中(对应焦点)的一支； c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|② 时 | =| | ，轨迹是以 为焦点的双曲线中(对应焦点)的 | = | |，轨迹是以 为焦点的椭圆。 a).⊙C与它两都外切，|一支，去掉两圆的切点； b).⊙C与它两都内切|支； | =||，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一 c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|圆切点。 ③ 相离时 | =| | |=||，轨迹是直线，去掉和两 a).⊙C与它两都外切，|一支； b).⊙C与它两都内切，|一支； ，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的 |=||，轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的 c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|④ 内切时 |=||，轨迹是以为焦点的双曲线。 a).⊙C与它两都外切，轨迹是射线在两圆切点以外部分； ，去掉 和两圆切点的射线。 b).⊙C与它两都内切，轨迹是以两圆切点为端点，方向是 12 c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以⑤ 内含时 为焦点的椭圆，去掉两圆的切点。 a).⊙C与它两都内切，轨迹是以为焦点的椭圆； 为焦点的椭圆。 的最小值。 b).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以?7、求f(x)= 解：f(x)=||+||+||+||+||+||||+|| ||，一共有1+2+32011=1006×2011个绝对值，则是偶数个，故中间第 503×2011个和第503×2011+1个之间取得最小值；设第503×2011个绝对值是||， ∴1+2+3，n(n+1)≤1006×2011=2023066，∵， ∵1422×1423=2023506，∴取n=1421。∴第503×2011个和第503×2011+1个绝对值是 | |，∴ | |+| |+| |++| | =(||+|21422|+|31422|+?+|20111422|)=(1421+1420+1419+? +1+0+1+2+3+?+589)=()=(1010331+173755)=。 2012年“北约”自主招生数学试题解析 13 14 15