2010-2014北约自主招生数学笔试试题及答案 - 图文

?4、?ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c,A,B,C为?ABC的内角,求证:C≤解:ab≤

,cosC=

所以C≤。

? 5、是否存在四个正实数,它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16?

解:设存在四个正实数分别为a

=1,b=2,c=3,d=5,而cd=15≠16,故不存在。

,不满足,故不存在。

都相切,

或解:∵abcd=32,而

?6、和是平面上两个不重合的固定圆,C是该平面上的一个动圆,C和则C的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由。 解:设两定圆⊙⑴当①

相交时

的垂直平分线去掉两圆的公共弦; 的垂直平分线;

|=

R,|

|=+R,|

|+|

|=

的半径分别为

,动圆C的半径为R。

a).⊙C与它两都外切,轨迹是线段b).⊙C与它两都内切,轨迹是线段

c).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,|轨迹是以②

为焦点的椭圆。

a).⊙C与它两都外切,轨迹是线段b).⊙C与它两都内切,轨迹是线段

的垂直平分线去掉两圆的切点; 的垂直平分线;

,去掉

和两圆的切点。

c).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是直线③

相离时

a).⊙C与它两都外切,轨迹是线段b).⊙C与它两都内切,轨迹是线段

的垂直平分线; 的垂直平分线;

11

c).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,|轨迹是以⑵当①

为焦点的双曲线。 ,不妨设

相交时

|

=|

|

|=||+,||||||=,

a).⊙C与它两都外切,|,轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的

一支,去掉两圆公共区域的部分; b).⊙C与它两都内切,|

|

=|

|

,或

|

|=

|

|轨迹是以

为焦点的双曲

线中(对应焦点)的一支;

c).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,|②

|

=|

|

,轨迹是以

为焦点的双曲线中(对应焦点)的

|

=

|

|,轨迹是以

为焦点的椭圆。

a).⊙C与它两都外切,|一支,去掉两圆的切点; b).⊙C与它两都内切|支;

|

=||,轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的一

c).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,|圆切点。 ③

相离时

|

=|

|

|=||,轨迹是直线,去掉和两

a).⊙C与它两都外切,|一支;

b).⊙C与它两都内切,|一支;

,轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的

|=||,轨迹是以为焦点的双曲线中(对应焦点)的

c).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,|④

内切时

|=||,轨迹是以为焦点的双曲线。

a).⊙C与它两都外切,轨迹是射线在两圆切点以外部分;

,去掉

和两圆切点的射线。

b).⊙C与它两都内切,轨迹是以两圆切点为端点,方向是

12

c).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以⑤

内含时

为焦点的椭圆,去掉两圆的切点。

a).⊙C与它两都内切,轨迹是以为焦点的椭圆;

为焦点的椭圆。 的最小值。

b).⊙C与两圆一个内切,一个外切时,轨迹是以?7、求f(x)=

解:f(x)=||+||+||+||+||+||||+||

||,一共有1+2+32011=1006×2011个绝对值,则是偶数个,故中间第

503×2011个和第503×2011+1个之间取得最小值;设第503×2011个绝对值是||,

∴1+2+3,n(n+1)≤1006×2011=2023066,∵,

∵1422×1423=2023506,∴取n=1421。∴第503×2011个和第503×2011+1个绝对值是 |

|,∴

|

|+|

|+|

|++|

|

=(||+|21422|+|31422|+?+|20111422|)=(1421+1420+1419+?

+1+0+1+2+3+?+589)=()=(1010331+173755)=。

2012年“北约”自主招生数学试题解析

13

14

15

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4